Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8609 / 8107
↖ ↑ ↗
← N  1.867345°
E  9.162598°		 ← 2 441.92 m → N  1.867345°
E  9.184570°		 →
↑
2 441.94 m
↓
↑
2 441.94 m
↓
N  1.845384°
E  9.162598°		 ← 2 441.95 m →
5 963 054 m²		 N  1.845384°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525482177734375 y=0.494842529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525482177734375 × 214)
    floor (0.525482177734375 × 16384)
    floor (8609.5)     		tx = 8609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494842529296875 × 214)
    floor (0.494842529296875 × 16384)
    floor (8107.5)     		ty = 8107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8609 / 8107 ti = "14/8609/8107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8609/8107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8609 ÷ 214
    8609 ÷ 16384     		x = 0.52545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8107 ÷ 214
    8107 ÷ 16384     		y = 0.49481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49481201171875 × 2 - 1) × π
    0.0103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15991750} λ = 0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0325970917416382))-π/2
    2×atan(1.03313419707309)-π/2
    2×0.801693823642739-π/2
    1.60338764728548-1.57079632675     		φ = 0.03259132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03259132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.867345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8609 KachelY 8107 0.15991750 0.03259132 9.162598 1.867345
    Oben rechts KachelX + 1 8610 KachelY 8107 0.16030099 0.03259132 9.184570 1.867345
    Unten links KachelX 8609 KachelY + 1 8108 0.15991750 0.03220803 9.162598 1.845384
    Unten rechts KachelX + 1 8610 KachelY + 1 8108 0.16030099 0.03220803 9.184570 1.845384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03259132-0.03220803) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dl = 2441.94059000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03259132-0.03220803) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dr = 2441.94059000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.03259132) × R
    0.000383490000000014 × 0.999468949939347 × 6371000     		do = 2441.91732063767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.03220803) × R
    0.000383490000000014 × 0.999481366238124 × 6371000     		du = 2441.94765632248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03259132)-sin(0.03220803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999468949939347-0.999481366238124)×R²
    abs(0.16030099-0.15991750)×1.24162987766852e-05×R²
    0.000383490000000014×1.24162987766852e-05×6371000²
    0.000383490000000014×1.24162987766852e-05×40589641000000     		ar = 5963054.13466258m²