Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8609 / 5592
↖ ↑ ↗
← N 49.496675°
E  9.162598°		 ← 1 586.85 m → N 49.496675°
E  9.184570°		 →
↑
1 587.08 m
↓
↑
1 587.08 m
↓
N 49.482402°
E  9.162598°		 ← 1 587.31 m →
2 518 823 m²		 N 49.482402°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525482177734375 y=0.341339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525482177734375 × 214)
    floor (0.525482177734375 × 16384)
    floor (8609.5)     		tx = 8609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341339111328125 × 214)
    floor (0.341339111328125 × 16384)
    floor (5592.5)     		ty = 5592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8609 / 5592 ti = "14/8609/5592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8609/5592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8609 ÷ 214
    8609 ÷ 16384     		x = 0.52545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5592 ÷ 214
    5592 ÷ 16384     		y = 0.34130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15991750} λ = 0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997087512097168))-π/2
    2×atan(2.71037638336199)-π/2
    2×1.21733813303438-π/2
    2.43467626606875-1.57079632675     		φ = 0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8609 KachelY 5592 0.15991750 0.86387994 9.162598 49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 8610 KachelY 5592 0.16030099 0.86387994 9.184570 49.496675
    Unten links KachelX 8609 KachelY + 1 5593 0.15991750 0.86363083 9.162598 49.482402
    Unten rechts KachelX + 1 8610 KachelY + 1 5593 0.16030099 0.86363083 9.184570 49.482402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86387994-0.86363083) × R
    0.000249110000000052 × 6371000     		dl = 1587.07981000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86387994-0.86363083) × R
    0.000249110000000052 × 6371000     		dr = 1587.07981000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.86387994) × R
    0.000383490000000014 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 1586.84890260542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.86363083) × R
    0.000383490000000014 × 0.649681576184229 × 6371000     		du = 1587.31163572388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86387994)-sin(0.86363083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.649681576184229)×R²
    abs(0.16030099-0.15991750)×0.000189395185535735×R²
    0.000383490000000014×0.000189395185535735×6371000²
    0.000383490000000014×0.000189395185535735×40589641000000     		ar = 2518823.06506687m²