Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8609 / 5582
↖ ↑ ↗
← N 49.639177°
E  9.162598°		 ← 1 582.22 m → N 49.639177°
E  9.184570°		 →
↑
1 582.49 m
↓
↑
1 582.49 m
↓
N 49.624945°
E  9.162598°		 ← 1 582.69 m →
2 504 223 m²		 N 49.624945°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525482177734375 y=0.340728759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525482177734375 × 214)
    floor (0.525482177734375 × 16384)
    floor (8609.5)     		tx = 8609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340728759765625 × 214)
    floor (0.340728759765625 × 16384)
    floor (5582.5)     		ty = 5582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8609 / 5582 ti = "14/8609/5582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8609/5582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8609 ÷ 214
    8609 ÷ 16384     		x = 0.52545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5582 ÷ 214
    5582 ÷ 16384     		y = 0.3406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15991750} λ = 0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00092246406677))-π/2
    2×atan(2.72079050267217)-π/2
    2×1.21858170341818-π/2
    2.43716340683636-1.57079632675     		φ = 0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8609 KachelY 5582 0.15991750 0.86636708 9.162598 49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 8610 KachelY 5582 0.16030099 0.86636708 9.184570 49.639177
    Unten links KachelX 8609 KachelY + 1 5583 0.15991750 0.86611869 9.162598 49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 8610 KachelY + 1 5583 0.16030099 0.86611869 9.184570 49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86636708-0.86611869) × R
    0.000248389999999987 × 6371000     		dl = 1582.49268999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86636708-0.86611869) × R
    0.000248389999999987 × 6371000     		dr = 1582.49268999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.86636708) × R
    0.000383490000000014 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 1582.22353241876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15991750-0.16030099) × cos(0.86611869) × R
    0.000383490000000014 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 1582.68590728558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86636708)-sin(0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647788280327789)×R²
    abs(0.16030099-0.15991750)×0.000189248554287369×R²
    0.000383490000000014×0.000189248554287369×6371000²
    0.000383490000000014×0.000189248554287369×40589641000000     		ar = 2504223.03929832m²