Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8608 / 8742
↖ ↑ ↗
← S 11.996338°
E  9.140625°		 ← 2 389.92 m → S 11.996338°
E  9.162598°		 →
↑
2 389.83 m
↓
↑
2 389.83 m
↓
S 12.017830°
E  9.140625°		 ← 2 389.73 m →
5 711 263 m²		 S 12.017830°
E  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525421142578125 y=0.533599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525421142578125 × 214)
    floor (0.525421142578125 × 16384)
    floor (8608.5)     		tx = 8608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533599853515625 × 214)
    floor (0.533599853515625 × 16384)
    floor (8742.5)     		ty = 8742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8608 / 8742 ti = "14/8608/8742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8608/8742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8608 ÷ 214
    8608 ÷ 16384     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8742 ÷ 214
    8742 ÷ 16384     		y = 0.5335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210922358328247))-π/2
    2×atan(0.809836941534386)-π/2
    2×0.680710361751786-π/2
    1.36142072350357-1.57079632675     		φ = -0.20937560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20937560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.996338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8608 KachelY 8742 0.15953400 -0.20937560 9.140625 -11.996338
    Oben rechts KachelX + 1 8609 KachelY 8742 0.15991750 -0.20937560 9.162598 -11.996338
    Unten links KachelX 8608 KachelY + 1 8743 0.15953400 -0.20975071 9.140625 -12.017830
    Unten rechts KachelX + 1 8609 KachelY + 1 8743 0.15991750 -0.20975071 9.162598 -12.017830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20937560--0.20975071) × R
    0.000375110000000012 × 6371000     		dl = 2389.82581000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20937560--0.20975071) × R
    0.000375110000000012 × 6371000     		dr = 2389.82581000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15991750) × cos(-0.20937560) × R
    0.000383499999999981 × 0.978160886422083 × 6371000     		do = 2389.9194633359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15991750) × cos(-0.20975071) × R
    0.000383499999999981 × 0.978082851301931 × 6371000     		du = 2389.72880180459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20937560)-sin(-0.20975071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978160886422083-0.978082851301931)×R²
    abs(0.15991750-0.15953400)×7.80351201523644e-05×R²
    0.000383499999999981×7.80351201523644e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.80351201523644e-05×40589641000000     		ar = 5711263.46034551m²