Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8606 / 9078
↖ ↑ ↗
← S 19.103648°
E  9.096680°		 ← 2 308.72 m → S 19.103648°
E  9.118653°		 →
↑
2 308.53 m
↓
↑
2 308.53 m
↓
S 19.124409°
E  9.096680°		 ← 2 308.43 m →
5 329 425 m²		 S 19.124409°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525299072265625 y=0.554107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525299072265625 × 214)
    floor (0.525299072265625 × 16384)
    floor (8606.5)     		tx = 8606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554107666015625 × 214)
    floor (0.554107666015625 × 16384)
    floor (9078.5)     		ty = 9078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8606 / 9078 ti = "14/8606/9078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8606/9078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8606 ÷ 214
    8606 ÷ 16384     		x = 0.5252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9078 ÷ 214
    9078 ÷ 16384     		y = 0.5540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.339776744506958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15876701} λ = 0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339776744506958))-π/2
    2×atan(0.71192924713666)-π/2
    2×0.618687382834842-π/2
    1.23737476566968-1.57079632675     		φ = -0.33342156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33342156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.103648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8606 KachelY 9078 0.15876701 -0.33342156 9.096680 -19.103648
    Oben rechts KachelX + 1 8607 KachelY 9078 0.15915051 -0.33342156 9.118653 -19.103648
    Unten links KachelX 8606 KachelY + 1 9079 0.15876701 -0.33378391 9.096680 -19.124409
    Unten rechts KachelX + 1 8607 KachelY + 1 9079 0.15915051 -0.33378391 9.118653 -19.124409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33342156--0.33378391) × R
    0.000362350000000011 × 6371000     		dl = 2308.53185000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33342156--0.33378391) × R
    0.000362350000000011 × 6371000     		dr = 2308.53185000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15876701-0.15915051) × cos(-0.33342156) × R
    0.000383500000000009 × 0.944928075339579 × 6371000     		do = 2308.72245052363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15876701-0.15915051) × cos(-0.33378391) × R
    0.000383500000000009 × 0.94480942410163 × 6371000     		du = 2308.43255250495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33342156)-sin(-0.33378391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944928075339579-0.94480942410163)×R²
    abs(0.15915051-0.15876701)×0.000118651237949408×R²
    0.000383500000000009×0.000118651237949408×6371000²
    0.000383500000000009×0.000118651237949408×40589641000000     		ar = 5329424.74875136m²