Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8606 / 8097
↖ ↑ ↗
← N  2.086941°
E  9.096680°		 ← 2 441.66 m → N  2.086941°
E  9.118653°		 →
↑
2 441.69 m
↓
↑
2 441.69 m
↓
N  2.064982°
E  9.096680°		 ← 2 441.69 m →
5 961 803 m²		 N  2.064982°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525299072265625 y=0.494232177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525299072265625 × 214)
    floor (0.525299072265625 × 16384)
    floor (8606.5)     		tx = 8606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494232177734375 × 214)
    floor (0.494232177734375 × 16384)
    floor (8097.5)     		ty = 8097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8606 / 8097 ti = "14/8606/8097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8606/8097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8606 ÷ 214
    8606 ÷ 16384     		x = 0.5252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8097 ÷ 214
    8097 ÷ 16384     		y = 0.49420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    0.0115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15876701} λ = 0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0364320437112427))-π/2
    2×atan(1.03710382389607)-π/2
    2×0.803610156920854-π/2
    1.60722031384171-1.57079632675     		φ = 0.03642399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03642399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.086941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8606 KachelY 8097 0.15876701 0.03642399 9.096680 2.086941
    Oben rechts KachelX + 1 8607 KachelY 8097 0.15915051 0.03642399 9.118653 2.086941
    Unten links KachelX 8606 KachelY + 1 8098 0.15876701 0.03604074 9.096680 2.064982
    Unten rechts KachelX + 1 8607 KachelY + 1 8098 0.15915051 0.03604074 9.118653 2.064982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03642399-0.03604074) × R
    0.000383250000000002 × 6371000     		dl = 2441.68575000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03642399-0.03604074) × R
    0.000383250000000002 × 6371000     		dr = 2441.68575000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15876701-0.15915051) × cos(0.03642399) × R
    0.000383500000000009 × 0.999336719812646 × 6371000     		do = 2441.65792177882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15876701-0.15915051) × cos(0.03604074) × R
    0.000383500000000009 × 0.999350602828415 × 6371000     		du = 2441.69184185276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03642399)-sin(0.03604074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999336719812646-0.999350602828415)×R²
    abs(0.15915051-0.15876701)×1.38830157685454e-05×R²
    0.000383500000000009×1.38830157685454e-05×6371000²
    0.000383500000000009×1.38830157685454e-05×40589641000000     		ar = 5961802.83803532m²