Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8606 / 7918
↖ ↑ ↗
← N 79.450489°
W132.725830°		 ← 111.84 m → N 79.450489°
W132.720337°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
N 79.449483°
W132.725830°		 ← 111.85 m →
12 512 m²		 N 79.449483°
W132.720337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131324768066406 y=0.120826721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131324768066406 × 216)
    floor (0.131324768066406 × 65536)
    floor (8606.5)     		tx = 8606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120826721191406 × 216)
    floor (0.120826721191406 × 65536)
    floor (7918.5)     		ty = 7918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8606 / 7918 ti = "16/8606/7918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8606/7918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8606 ÷ 216
    8606 ÷ 65536     		x = 0.131317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7918 ÷ 216
    7918 ÷ 65536     		y = 0.120819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.73736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31650274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120819091796875 × 2 - 1) × π
    0.75836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38246391111679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31650274} λ = -2.31650274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38246391111679))-π/2
    2×atan(10.8315580086823)-π/2
    2×1.47873447627126-π/2
    2.95746895254252-1.57079632675     		φ = 1.38667263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31650274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.725830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38667263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.450489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8606 KachelY 7918 -2.31650274 1.38667263 -132.725830 79.450489
    Oben rechts KachelX + 1 8607 KachelY 7918 -2.31640686 1.38667263 -132.720337 79.450489
    Unten links KachelX 8606 KachelY + 1 7919 -2.31650274 1.38665507 -132.725830 79.449483
    Unten rechts KachelX + 1 8607 KachelY + 1 7919 -2.31640686 1.38665507 -132.720337 79.449483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38667263-1.38665507) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38667263-1.38665507) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31650274--2.31640686) × cos(1.38667263) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183085112824502 × 6371000     		do = 111.837812134741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31650274--2.31640686) × cos(1.38665507) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183102375980755 × 6371000     		du = 111.848357359287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38667263)-sin(1.38665507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183085112824502-0.183102375980755)×R²
    abs(-2.31640686--2.31650274)×1.72631562531944e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72631562531944e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72631562531944e-05×40589641000000     		ar = 12512.4182639125m²