Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8605 / 5606
↖ ↑ ↗
← N 49.296472°
E  9.074707°		 ← 1 593.33 m → N 49.296472°
E  9.096680°		 →
↑
1 593.58 m
↓
↑
1 593.58 m
↓
N 49.282140°
E  9.074707°		 ← 1 593.79 m →
2 539 466 m²		 N 49.282140°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525238037109375 y=0.342193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525238037109375 × 214)
    floor (0.525238037109375 × 16384)
    floor (8605.5)     		tx = 8605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342193603515625 × 214)
    floor (0.342193603515625 × 16384)
    floor (5606.5)     		ty = 5606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8605 / 5606 ti = "14/8605/5606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8605/5606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8605 ÷ 214
    8605 ÷ 16384     		x = 0.52520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5606 ÷ 214
    5606 ÷ 16384     		y = 0.3421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52520751953125 × 2 - 1) × π
    0.0504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15838352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3421630859375 × 2 - 1) × π
    0.315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991718579339722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15838352} λ = 0.15838352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991718579339722))-π/2
    2×atan(2.6958635488901)-π/2
    2×1.21559103292934-π/2
    2.43118206585868-1.57079632675     		φ = 0.86038574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15838352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86038574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.296472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8605 KachelY 5606 0.15838352 0.86038574 9.074707 49.296472
    Oben rechts KachelX + 1 8606 KachelY 5606 0.15876701 0.86038574 9.096680 49.296472
    Unten links KachelX 8605 KachelY + 1 5607 0.15838352 0.86013561 9.074707 49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 8606 KachelY + 1 5607 0.15876701 0.86013561 9.096680 49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86038574-0.86013561) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dl = 1593.57822999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86038574-0.86013561) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dr = 1593.57822999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15838352-0.15876701) × cos(0.86038574) × R
    0.000383489999999986 × 0.652145089441261 × 6371000     		do = 1593.3305277487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15838352-0.15876701) × cos(0.86013561) × R
    0.000383489999999986 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 1593.79376541161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86038574)-sin(0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652145089441261-0.652334691135227)×R²
    abs(0.15876701-0.15838352)×0.000189601693965757×R²
    0.000383489999999986×0.000189601693965757×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189601693965757×40589641000000     		ar = 2539465.958183m²