Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8603 / 7578
↖ ↑ ↗
← N 79.787010°
W132.742310°		 ← 108.31 m → N 79.787010°
W132.736816°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
N 79.786036°
W132.742310°		 ← 108.32 m →
11 731 m²		 N 79.786036°
W132.736816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131278991699219 y=0.115638732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131278991699219 × 216)
    floor (0.131278991699219 × 65536)
    floor (8603.5)     		tx = 8603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115638732910156 × 216)
    floor (0.115638732910156 × 65536)
    floor (7578.5)     		ty = 7578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8603 / 7578 ti = "16/8603/7578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8603/7578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8603 ÷ 216
    8603 ÷ 65536     		x = 0.131271362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7578 ÷ 216
    7578 ÷ 65536     		y = 0.115631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131271362304688 × 2 - 1) × π
    -0.737457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31679036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115631103515625 × 2 - 1) × π
    0.76873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41506100285843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31679036} λ = -2.31679036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41506100285843))-π/2
    2×atan(11.1904529863506)-π/2
    2×1.4816711739762-π/2
    2.96334234795239-1.57079632675     		φ = 1.39254602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31679036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.742310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39254602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.787010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8603 KachelY 7578 -2.31679036 1.39254602 -132.742310 79.787010
    Oben rechts KachelX + 1 8604 KachelY 7578 -2.31669448 1.39254602 -132.736816 79.787010
    Unten links KachelX 8603 KachelY + 1 7579 -2.31679036 1.39252902 -132.742310 79.786036
    Unten rechts KachelX + 1 8604 KachelY + 1 7579 -2.31669448 1.39252902 -132.736816 79.786036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39254602-1.39252902) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39254602-1.39252902) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31679036--2.31669448) × cos(1.39254602) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.177307875637151 × 6371000     		do = 108.30877824904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31679036--2.31669448) × cos(1.39252902) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.177324606253898 × 6371000     		du = 108.318998171042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39254602)-sin(1.39252902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177307875637151-0.177324606253898)×R²
    abs(-2.31669448--2.31679036)×1.67306167472014e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.67306167472014e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.67306167472014e-05×40589641000000     		ar = 11731.1522903364m²