Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8602 / 9046
↖ ↑ ↗
← S 18.437925°
E  9.008789°		 ← 2 317.86 m → S 18.437925°
E  9.030762°		 →
↑
2 317.71 m
↓
↑
2 317.71 m
↓
S 18.458768°
E  9.008789°		 ← 2 317.58 m →
5 371 786 m²		 S 18.458768°
E  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525054931640625 y=0.552154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525054931640625 × 214)
    floor (0.525054931640625 × 16384)
    floor (8602.5)     		tx = 8602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552154541015625 × 214)
    floor (0.552154541015625 × 16384)
    floor (9046.5)     		ty = 9046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8602 / 9046 ti = "14/8602/9046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8602/9046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8602 ÷ 214
    8602 ÷ 16384     		x = 0.5250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9046 ÷ 214
    9046 ÷ 16384     		y = 0.5521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327504898204224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15723303} λ = 0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327504898204224))-π/2
    2×atan(0.720719761034317)-π/2
    2×0.624496917183007-π/2
    1.24899383436601-1.57079632675     		φ = -0.32180249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32180249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.437925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8602 KachelY 9046 0.15723303 -0.32180249 9.008789 -18.437925
    Oben rechts KachelX + 1 8603 KachelY 9046 0.15761653 -0.32180249 9.030762 -18.437925
    Unten links KachelX 8602 KachelY + 1 9047 0.15723303 -0.32216628 9.008789 -18.458768
    Unten rechts KachelX + 1 8603 KachelY + 1 9047 0.15761653 -0.32216628 9.030762 -18.458768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32180249--0.32216628) × R
    0.00036379000000003 × 6371000     		dl = 2317.70609000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32180249--0.32216628) × R
    0.00036379000000003 × 6371000     		dr = 2317.70609000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15723303-0.15761653) × cos(-0.32180249) × R
    0.000383500000000009 × 0.94866687329125 × 6371000     		do = 2317.85737517479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15723303-0.15761653) × cos(-0.32216628) × R
    0.000383500000000009 × 0.948551752096063 × 6371000     		du = 2317.57610203369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32180249)-sin(-0.32216628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94866687329125-0.948551752096063)×R²
    abs(0.15761653-0.15723303)×0.00011512119518664×R²
    0.000383500000000009×0.00011512119518664×6371000²
    0.000383500000000009×0.00011512119518664×40589641000000     		ar = 5371786.25920196m²