Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8602 / 7577
↖ ↑ ↗
← N 79.787984°
W132.747803°		 ← 108.29 m → N 79.787984°
W132.742310°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
N 79.787010°
W132.747803°		 ← 108.30 m →
11 729 m²		 N 79.787010°
W132.742310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131263732910156 y=0.115623474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131263732910156 × 216)
    floor (0.131263732910156 × 65536)
    floor (8602.5)     		tx = 8602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115623474121094 × 216)
    floor (0.115623474121094 × 65536)
    floor (7577.5)     		ty = 7577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8602 / 7577 ti = "16/8602/7577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8602/7577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8602 ÷ 216
    8602 ÷ 65536     		x = 0.131256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7577 ÷ 216
    7577 ÷ 65536     		y = 0.115615844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.73748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31688623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115615844726562 × 2 - 1) × π
    0.768768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41515687665767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31688623} λ = -2.31688623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41515687665767))-π/2
    2×atan(11.1915259090254)-π/2
    2×1.481679673165-π/2
    2.96335934633001-1.57079632675     		φ = 1.39256302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31688623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.747803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39256302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.787984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8602 KachelY 7577 -2.31688623 1.39256302 -132.747803 79.787984
    Oben rechts KachelX + 1 8603 KachelY 7577 -2.31679036 1.39256302 -132.742310 79.787984
    Unten links KachelX 8602 KachelY + 1 7578 -2.31688623 1.39254602 -132.747803 79.787010
    Unten rechts KachelX + 1 8603 KachelY + 1 7578 -2.31679036 1.39254602 -132.742310 79.787010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39256302-1.39254602) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39256302-1.39254602) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31688623--2.31679036) × cos(1.39256302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177291144969162 × 6371000     		do = 108.287263076459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31688623--2.31679036) × cos(1.39254602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177307875637151 × 6371000     		du = 108.297481963851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39256302)-sin(1.39254602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177291144969162-0.177307875637151)×R²
    abs(-2.31679036--2.31688623)×1.67306679894064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67306679894064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67306679894064e-05×40589641000000     		ar = 11728.8219909011m²