Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8601 / 12107
↖ ↑ ↗
← S 64.876938°
E  8.986817°		 ← 1 037.30 m → S 64.876938°
E  9.008789°		 →
↑
1 037.14 m
↓
↑
1 037.14 m
↓
S 64.886265°
E  8.986817°		 ← 1 036.94 m →
1 075 634 m²		 S 64.886265°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524993896484375 y=0.738983154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524993896484375 × 214)
    floor (0.524993896484375 × 16384)
    floor (8601.5)     		tx = 8601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738983154296875 × 214)
    floor (0.738983154296875 × 16384)
    floor (12107.5)     		ty = 12107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8601 / 12107 ti = "14/8601/12107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8601/12107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8601 ÷ 214
    8601 ÷ 16384     		x = 0.52496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12107 ÷ 214
    12107 ÷ 16384     		y = 0.73895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52496337890625 × 2 - 1) × π
    0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.4779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50138369610016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15684954} λ = 0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50138369610016))-π/2
    2×atan(0.222821629321682)-π/2
    2×0.219240073023345-π/2
    0.438480146046689-1.57079632675     		φ = -1.13231618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13231618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8601 KachelY 12107 0.15684954 -1.13231618 8.986817 -64.876938
    Oben rechts KachelX + 1 8602 KachelY 12107 0.15723303 -1.13231618 9.008789 -64.876938
    Unten links KachelX 8601 KachelY + 1 12108 0.15684954 -1.13247897 8.986817 -64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 8602 KachelY + 1 12108 0.15723303 -1.13247897 9.008789 -64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13231618--1.13247897) × R
    0.000162790000000079 × 6371000     		dl = 1037.1350900005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13231618--1.13247897) × R
    0.000162790000000079 × 6371000     		dr = 1037.1350900005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15684954-0.15723303) × cos(-1.13231618) × R
    0.000383489999999986 × 0.42456388393009 × 6371000     		do = 1037.3007605178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15684954-0.15723303) × cos(-1.13247897) × R
    0.000383489999999986 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 1036.94064198774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13231618)-sin(-1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42456388393009-0.424416488567418)×R²
    abs(0.15723303-0.15684954)×0.000147395362672775×R²
    0.000383489999999986×0.000147395362672775×6371000²
    0.000383489999999986×0.000147395362672775×40589641000000     		ar = 1075634.27420933m²