Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8598 / 5430
↖ ↑ ↗
← N 51.754240°
E  8.920898°		 ← 1 512.48 m → N 51.754240°
E  8.942871°		 →
↑
1 512.67 m
↓
↑
1 512.67 m
↓
N 51.740636°
E  8.920898°		 ← 1 512.93 m →
2 288 218 m²		 N 51.740636°
E  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524810791015625 y=0.331451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524810791015625 × 214)
    floor (0.524810791015625 × 16384)
    floor (8598.5)     		tx = 8598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331451416015625 × 214)
    floor (0.331451416015625 × 16384)
    floor (5430.5)     		ty = 5430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8598 / 5430 ti = "14/8598/5430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8598/5430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8598 ÷ 214
    8598 ÷ 16384     		x = 0.5247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5430 ÷ 214
    5430 ÷ 16384     		y = 0.3314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3314208984375 × 2 - 1) × π
    0.337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05921373400476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15569905} λ = 0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05921373400476))-π/2
    2×atan(2.88410242587345)-π/2
    2×1.23703910896782-π/2
    2.47407821793563-1.57079632675     		φ = 0.90328189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90328189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.754240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8598 KachelY 5430 0.15569905 0.90328189 8.920898 51.754240
    Oben rechts KachelX + 1 8599 KachelY 5430 0.15608255 0.90328189 8.942871 51.754240
    Unten links KachelX 8598 KachelY + 1 5431 0.15569905 0.90304446 8.920898 51.740636
    Unten rechts KachelX + 1 8599 KachelY + 1 5431 0.15608255 0.90304446 8.942871 51.740636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90328189-0.90304446) × R
    0.000237429999999983 × 6371000     		dl = 1512.66652999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90328189-0.90304446) × R
    0.000237429999999983 × 6371000     		dr = 1512.66652999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15569905-0.15608255) × cos(0.90328189) × R
    0.000383499999999981 × 0.61903583251821 × 6371000     		do = 1512.47694032127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15569905-0.15608255) × cos(0.90304446) × R
    0.000383499999999981 × 0.619222283744068 × 6371000     		du = 1512.93249259271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90328189)-sin(0.90304446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61903583251821-0.619222283744068)×R²
    abs(0.15608255-0.15569905)×0.000186451225858475×R²
    0.000383499999999981×0.000186451225858475×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186451225858475×40589641000000     		ar = 2288217.80510676m²