Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8597 / 8746
↖ ↑ ↗
← S 12.082296°
E  8.898926°		 ← 2 389.15 m → S 12.082296°
E  8.920898°		 →
↑
2 389.06 m
↓
↑
2 389.06 m
↓
S 12.103781°
E  8.898926°		 ← 2 388.96 m →
5 707 608 m²		 S 12.103781°
E  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524749755859375 y=0.533843994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524749755859375 × 214)
    floor (0.524749755859375 × 16384)
    floor (8597.5)     		tx = 8597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533843994140625 × 214)
    floor (0.533843994140625 × 16384)
    floor (8746.5)     		ty = 8746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8597 / 8746 ti = "14/8597/8746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8597/8746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8597 ÷ 214
    8597 ÷ 16384     		x = 0.52471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8746 ÷ 214
    8746 ÷ 16384     		y = 0.5338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.212456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15531555} λ = 0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212456339116089))-π/2
    2×atan(0.808595619550238)-π/2
    2×0.679960241619417-π/2
    1.35992048323883-1.57079632675     		φ = -0.21087584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21087584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.082296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8597 KachelY 8746 0.15531555 -0.21087584 8.898926 -12.082296
    Oben rechts KachelX + 1 8598 KachelY 8746 0.15569905 -0.21087584 8.920898 -12.082296
    Unten links KachelX 8597 KachelY + 1 8747 0.15531555 -0.21125083 8.898926 -12.103781
    Unten rechts KachelX + 1 8598 KachelY + 1 8747 0.15569905 -0.21125083 8.920898 -12.103781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21087584--0.21125083) × R
    0.000374989999999992 × 6371000     		dl = 2389.06128999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21087584--0.21125083) × R
    0.000374989999999992 × 6371000     		dr = 2389.06128999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15531555-0.15569905) × cos(-0.21087584) × R
    0.000383500000000009 × 0.977847962107176 × 6371000     		do = 2389.15490208533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15531555-0.15569905) × cos(-0.21125083) × R
    0.000383500000000009 × 0.977769401794021 × 6371000     		du = 2388.96295736125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21087584)-sin(-0.21125083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977847962107176-0.977769401794021)×R²
    abs(0.15569905-0.15531555)×7.85603131553403e-05×R²
    0.000383500000000009×7.85603131553403e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.85603131553403e-05×40589641000000     		ar = 5707608.27541297m²