Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8596 / 9077
↖ ↑ ↗
← S 19.082884°
E  8.876953°		 ← 2 308.95 m → S 19.082884°
E  8.898926°		 →
↑
2 308.85 m
↓
↑
2 308.85 m
↓
S 19.103648°
E  8.876953°		 ← 2 308.66 m →
5 330 690 m²		 S 19.103648°
E  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524688720703125 y=0.554046630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524688720703125 × 214)
    floor (0.524688720703125 × 16384)
    floor (8596.5)     		tx = 8596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554046630859375 × 214)
    floor (0.554046630859375 × 16384)
    floor (9077.5)     		ty = 9077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8596 / 9077 ti = "14/8596/9077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8596/9077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8596 ÷ 214
    8596 ÷ 16384     		x = 0.524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9077 ÷ 214
    9077 ÷ 16384     		y = 0.55401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524658203125 × 2 - 1) × π
    0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.339393249309998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15493206} λ = 0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339393249309998))-π/2
    2×atan(0.712202320941412)-π/2
    2×0.618868581890858-π/2
    1.23773716378172-1.57079632675     		φ = -0.33305916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33305916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.082884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8596 KachelY 9077 0.15493206 -0.33305916 8.876953 -19.082884
    Oben rechts KachelX + 1 8597 KachelY 9077 0.15531555 -0.33305916 8.898926 -19.082884
    Unten links KachelX 8596 KachelY + 1 9078 0.15493206 -0.33342156 8.876953 -19.103648
    Unten rechts KachelX + 1 8597 KachelY + 1 9078 0.15531555 -0.33342156 8.898926 -19.103648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33305916--0.33342156) × R
    0.000362399999999985 × 6371000     		dl = 2308.8503999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33305916--0.33342156) × R
    0.000362399999999985 × 6371000     		dr = 2308.8503999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15493206-0.15531555) × cos(-0.33305916) × R
    0.000383489999999986 × 0.945046618857596 × 6371000     		do = 2308.95187643229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15493206-0.15531555) × cos(-0.33342156) × R
    0.000383489999999986 × 0.944928075339579 × 6371000     		du = 2308.66224915581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33305916)-sin(-0.33342156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945046618857596-0.944928075339579)×R²
    abs(0.15531555-0.15493206)×0.000118543518016878×R²
    0.000383489999999986×0.000118543518016878×6371000²
    0.000383489999999986×0.000118543518016878×40589641000000     		ar = 5330690.16879635m²