Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8594 / 6609
↖ ↑ ↗
← N 80.688900°
W132.791748°		 ← 98.82 m → N 80.688900°
W132.786255°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 80.688011°
W132.791748°		 ← 98.83 m →
9 766 m²		 N 80.688011°
W132.786255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131141662597656 y=0.100852966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131141662597656 × 216)
    floor (0.131141662597656 × 65536)
    floor (8594.5)     		tx = 8594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100852966308594 × 216)
    floor (0.100852966308594 × 65536)
    floor (6609.5)     		ty = 6609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8594 / 6609 ti = "16/8594/6609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8594/6609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8594 ÷ 216
    8594 ÷ 65536     		x = 0.131134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6609 ÷ 216
    6609 ÷ 65536     		y = 0.100845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.73773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31765322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100845336914062 × 2 - 1) × π
    0.798309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5079627143221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31765322} λ = -2.31765322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5079627143221))-π/2
    2×atan(12.2798869214067)-π/2
    2×1.48954164889207-π/2
    2.97908329778414-1.57079632675     		φ = 1.40828697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31765322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40828697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.688900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8594 KachelY 6609 -2.31765322 1.40828697 -132.791748 80.688900
    Oben rechts KachelX + 1 8595 KachelY 6609 -2.31755735 1.40828697 -132.786255 80.688900
    Unten links KachelX 8594 KachelY + 1 6610 -2.31765322 1.40827146 -132.791748 80.688011
    Unten rechts KachelX + 1 8595 KachelY + 1 6610 -2.31755735 1.40827146 -132.786255 80.688011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40828697-1.40827146) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40828697-1.40827146) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31765322--2.31755735) × cos(1.40828697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161795007903138 × 6371000     		do = 98.8224120742876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31765322--2.31755735) × cos(1.40827146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161810313529955 × 6371000     		du = 98.83176056396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40828697)-sin(1.40827146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161795007903138-0.161810313529955)×R²
    abs(-2.31755735--2.31765322)×1.53056268176188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53056268176188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53056268176188e-05×40589641000000     		ar = 9765.5204617105m²