Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8593 / 5575
↖ ↑ ↗
← N 49.738682°
E  8.811035°		 ← 1 579.03 m → N 49.738682°
E  8.833008°		 →
↑
1 579.24 m
↓
↑
1 579.24 m
↓
N 49.724479°
E  8.811035°		 ← 1 579.49 m →
2 494 036 m²		 N 49.724479°
E  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524505615234375 y=0.340301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524505615234375 × 214)
    floor (0.524505615234375 × 16384)
    floor (8593.5)     		tx = 8593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340301513671875 × 214)
    floor (0.340301513671875 × 16384)
    floor (5575.5)     		ty = 5575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8593 / 5575 ti = "14/8593/5575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8593/5575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8593 ÷ 214
    8593 ÷ 16384     		x = 0.52447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5575 ÷ 214
    5575 ÷ 16384     		y = 0.34027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34027099609375 × 2 - 1) × π
    0.3194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0036069304455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15378157} λ = 0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0036069304455))-π/2
    2×atan(2.72810418557599)-π/2
    2×1.21945004349152-π/2
    2.43890008698305-1.57079632675     		φ = 0.86810376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86810376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.738682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8593 KachelY 5575 0.15378157 0.86810376 8.811035 49.738682
    Oben rechts KachelX + 1 8594 KachelY 5575 0.15416507 0.86810376 8.833008 49.738682
    Unten links KachelX 8593 KachelY + 1 5576 0.15378157 0.86785588 8.811035 49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 8594 KachelY + 1 5576 0.15416507 0.86785588 8.833008 49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86810376-0.86785588) × R
    0.000247879999999978 × 6371000     		dl = 1579.24347999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86810376-0.86785588) × R
    0.000247879999999978 × 6371000     		dr = 1579.24347999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15378157-0.15416507) × cos(0.86810376) × R
    0.000383499999999981 × 0.646274738165481 × 6371000     		do = 1579.02917285277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15378157-0.15416507) × cos(0.86785588) × R
    0.000383499999999981 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 1579.4912910428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86810376)-sin(0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646274738165481-0.646463876730745)×R²
    abs(0.15416507-0.15378157)×0.000189138565264146×R²
    0.000383499999999981×0.000189138565264146×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189138565264146×40589641000000     		ar = 2494036.43729548m²