Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8593 / 5462
↖ ↑ ↗
← N 51.316881°
E  8.811035°		 ← 1 527.08 m → N 51.316881°
E  8.833008°		 →
↑
1 527.32 m
↓
↑
1 527.32 m
↓
N 51.303145°
E  8.811035°		 ← 1 527.54 m →
2 332 689 m²		 N 51.303145°
E  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524505615234375 y=0.333404541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524505615234375 × 214)
    floor (0.524505615234375 × 16384)
    floor (8593.5)     		tx = 8593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333404541015625 × 214)
    floor (0.333404541015625 × 16384)
    floor (5462.5)     		ty = 5462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8593 / 5462 ti = "14/8593/5462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8593/5462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8593 ÷ 214
    8593 ÷ 16384     		x = 0.52447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5462 ÷ 214
    5462 ÷ 16384     		y = 0.3333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3333740234375 × 2 - 1) × π
    0.333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04694188770203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15378157} λ = 0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04694188770203))-π/2
    2×atan(2.84892544887407)-π/2
    2×1.23322242671214-π/2
    2.46644485342428-1.57079632675     		φ = 0.89564853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89564853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.316881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8593 KachelY 5462 0.15378157 0.89564853 8.811035 51.316881
    Oben rechts KachelX + 1 8594 KachelY 5462 0.15416507 0.89564853 8.833008 51.316881
    Unten links KachelX 8593 KachelY + 1 5463 0.15378157 0.89540880 8.811035 51.303145
    Unten rechts KachelX + 1 8594 KachelY + 1 5463 0.15416507 0.89540880 8.833008 51.303145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89564853-0.89540880) × R
    0.000239729999999994 × 6371000     		dl = 1527.31982999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89564853-0.89540880) × R
    0.000239729999999994 × 6371000     		dr = 1527.31982999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15378157-0.15416507) × cos(0.89564853) × R
    0.000383499999999981 × 0.625012695887316 × 6371000     		do = 1527.08008208844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15378157-0.15416507) × cos(0.89540880) × R
    0.000383499999999981 × 0.625199814660046 × 6371000     		du = 1527.5372653628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89564853)-sin(0.89540880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625012695887316-0.625199814660046)×R²
    abs(0.15416507-0.15378157)×0.000187118772730588×R²
    0.000383499999999981×0.000187118772730588×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187118772730588×40589641000000     		ar = 2332688.83508433m²