Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8591 / 9073
↖ ↑ ↗
← S 18.999803°
E  8.767090°		 ← 2 310.17 m → S 18.999803°
E  8.789063°		 →
↑
2 310 m
↓
↑
2 310 m
↓
S 19.020577°
E  8.767090°		 ← 2 309.88 m →
5 336 148 m²		 S 19.020577°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524383544921875 y=0.553802490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524383544921875 × 214)
    floor (0.524383544921875 × 16384)
    floor (8591.5)     		tx = 8591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553802490234375 × 214)
    floor (0.553802490234375 × 16384)
    floor (9073.5)     		ty = 9073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8591 / 9073 ti = "14/8591/9073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8591/9073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8591 ÷ 214
    8591 ÷ 16384     		x = 0.52435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9073 ÷ 214
    9073 ÷ 16384     		y = 0.55377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52435302734375 × 2 - 1) × π
    0.0487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15301458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15301458} λ = 0.15301458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337859268522156))-π/2
    2×atan(0.713295663988012)-π/2
    2×0.619593605103657-π/2
    1.23918721020731-1.57079632675     		φ = -0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15301458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8591 KachelY 9073 0.15301458 -0.33160912 8.767090 -18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 8592 KachelY 9073 0.15339808 -0.33160912 8.789063 -18.999803
    Unten links KachelX 8591 KachelY + 1 9074 0.15301458 -0.33197170 8.767090 -19.020577
    Unten rechts KachelX + 1 8592 KachelY + 1 9074 0.15339808 -0.33197170 8.789063 -19.020577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33160912--0.33197170) × R
    0.000362580000000001 × 6371000     		dl = 2309.99718000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33160912--0.33197170) × R
    0.000362580000000001 × 6371000     		dr = 2309.99718000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15301458-0.15339808) × cos(-0.33160912) × R
    0.000383499999999981 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 2310.16794177208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15301458-0.15339808) × cos(-0.33197170) × R
    0.000383499999999981 × 0.945401589386343 × 6371000     		du = 2309.87937721337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33160912)-sin(-0.33197170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.945401589386343)×R²
    abs(0.15339808-0.15301458)×0.000118105471282326×R²
    0.000383499999999981×0.000118105471282326×6371000²
    0.000383499999999981×0.000118105471282326×40589641000000     		ar = 5336148.19762092m²