Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8590 / 9087
↖ ↑ ↗
← S 19.290405°
E  8.745117°		 ← 2 306.04 m → S 19.290405°
E  8.767090°		 →
↑
2 305.92 m
↓
↑
2 305.92 m
↓
S 19.311143°
E  8.745117°		 ← 2 305.75 m →
5 317 215 m²		 S 19.311143°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524322509765625 y=0.554656982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524322509765625 × 214)
    floor (0.524322509765625 × 16384)
    floor (8590.5)     		tx = 8590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554656982421875 × 214)
    floor (0.554656982421875 × 16384)
    floor (9087.5)     		ty = 9087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8590 / 9087 ti = "14/8590/9087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8590/9087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8590 ÷ 214
    8590 ÷ 16384     		x = 0.5242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9087 ÷ 214
    9087 ÷ 16384     		y = 0.55462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5242919921875 × 2 - 1) × π
    0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15263109} λ = 0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343228201279602))-π/2
    2×atan(0.709476289688368)-π/2
    2×0.617057617174817-π/2
    1.23411523434963-1.57079632675     		φ = -0.33668109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33668109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.290405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8590 KachelY 9087 0.15263109 -0.33668109 8.745117 -19.290405
    Oben rechts KachelX + 1 8591 KachelY 9087 0.15301458 -0.33668109 8.767090 -19.290405
    Unten links KachelX 8590 KachelY + 1 9088 0.15263109 -0.33704303 8.745117 -19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 8591 KachelY + 1 9088 0.15301458 -0.33704303 8.767090 -19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33668109--0.33704303) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dl = 2305.91974000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33668109--0.33704303) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dr = 2305.91974000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15263109-0.15301458) × cos(-0.33668109) × R
    0.000383490000000014 × 0.943856284847703 × 6371000     		do = 2306.04363477445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15263109-0.15301458) × cos(-0.33704303) × R
    0.000383490000000014 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 2305.75135055779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33668109)-sin(-0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943856284847703-0.94373665385257)×R²
    abs(0.15301458-0.15263109)×0.000119630995132569×R²
    0.000383490000000014×0.000119630995132569×6371000²
    0.000383490000000014×0.000119630995132569×40589641000000     		ar = 5317214.60480158m²