Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 859 / 189
↖ ↑ ↗
← N 81.174491°
W 29.003906°		 ← 2 998.86 m → N 81.174491°
W 28.828125°		 →
↑
3 003.42 m
↓
↑
3 003.42 m
↓
N 81.147481°
W 29.003906°		 ← 3 007.96 m →
9 020 489 m²		 N 81.147481°
W 28.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419677734375 y=0.092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419677734375 × 211)
    floor (0.419677734375 × 2048)
    floor (859.5)     		tx = 859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092529296875 × 211)
    floor (0.092529296875 × 2048)
    floor (189.5)     		ty = 189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 859 / 189 ti = "11/859/189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/859/189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 859 ÷ 211
    859 ÷ 2048     		x = 0.41943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 189 ÷ 211
    189 ÷ 2048     		y = 0.09228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09228515625 × 2 - 1) × π
    0.8154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5617479156958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50621366} λ = -0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5617479156958))-π/2
    2×atan(12.9584478059999)-π/2
    2×1.49377923171926-π/2
    2.98755846343851-1.57079632675     		φ = 1.41676214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41676214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.174491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 859 KachelY 189 -0.50621366 1.41676214 -29.003906 81.174491
    Oben rechts KachelX + 1 860 KachelY 189 -0.50314570 1.41676214 -28.828125 81.174491
    Unten links KachelX 859 KachelY + 1 190 -0.50621366 1.41629072 -29.003906 81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 860 KachelY + 1 190 -0.50314570 1.41629072 -28.828125 81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41676214-1.41629072) × R
    0.00047142 × 6371000     		dl = 3003.41682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41676214-1.41629072) × R
    0.00047142 × 6371000     		dr = 3003.41682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50621366--0.50314570) × cos(1.41676214) × R
    0.00306795999999998 × 0.15342579285378 × 6371000     		do = 2998.85642917169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50621366--0.50314570) × cos(1.41629072) × R
    0.00306795999999998 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 3007.96136180688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41676214)-sin(1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15342579285378-0.153891614256514)×R²
    abs(-0.50314570--0.50621366)×0.000465821402733879×R²
    0.00306795999999998×0.000465821402733879×6371000²
    0.00306795999999998×0.000465821402733879×40589641000000     		ar = 9020488.96109855m²