Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8589 / 9099
↖ ↑ ↗
← S 19.539084°
E  8.723144°		 ← 2 302.58 m → S 19.539084°
E  8.745117°		 →
↑
2 302.42 m
↓
↑
2 302.42 m
↓
S 19.559790°
E  8.723144°		 ← 2 302.28 m →
5 301 153 m²		 S 19.559790°
E  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524261474609375 y=0.555389404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524261474609375 × 214)
    floor (0.524261474609375 × 16384)
    floor (8589.5)     		tx = 8589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555389404296875 × 214)
    floor (0.555389404296875 × 16384)
    floor (9099.5)     		ty = 9099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8589 / 9099 ti = "14/8589/9099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8589/9099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8589 ÷ 214
    8589 ÷ 16384     		x = 0.52423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9099 ÷ 214
    9099 ÷ 16384     		y = 0.55535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52423095703125 × 2 - 1) × π
    0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.347830143643127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15224759} λ = 0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347830143643127))-π/2
    2×atan(0.70621882178356)-π/2
    2×0.614887487907719-π/2
    1.22977497581544-1.57079632675     		φ = -0.34102135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34102135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.539084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8589 KachelY 9099 0.15224759 -0.34102135 8.723144 -19.539084
    Oben rechts KachelX + 1 8590 KachelY 9099 0.15263109 -0.34102135 8.745117 -19.539084
    Unten links KachelX 8589 KachelY + 1 9100 0.15224759 -0.34138274 8.723144 -19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 8590 KachelY + 1 9100 0.15263109 -0.34138274 8.745117 -19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34102135--0.34138274) × R
    0.000361390000000017 × 6371000     		dl = 2302.41569000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34102135--0.34138274) × R
    0.000361390000000017 × 6371000     		dr = 2302.41569000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15224759-0.15263109) × cos(-0.34102135) × R
    0.000383500000000009 × 0.942413566826039 × 6371000     		do = 2302.57880593443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15224759-0.15263109) × cos(-0.34138274) × R
    0.000383500000000009 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 2302.28334429276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34102135)-sin(-0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942413566826039-0.942292638474371)×R²
    abs(0.15263109-0.15224759)×0.000120928351668548×R²
    0.000383500000000009×0.000120928351668548×6371000²
    0.000383500000000009×0.000120928351668548×40589641000000     		ar = 5301153.4901805m²