Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8588 / 9100
↖ ↑ ↗
← S 19.559790°
E  8.701172°		 ← 2 302.22 m → S 19.559790°
E  8.723144°		 →
↑
2 302.10 m
↓
↑
2 302.10 m
↓
S 19.580493°
E  8.701172°		 ← 2 301.93 m →
5 299 601 m²		 S 19.580493°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524200439453125 y=0.555450439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524200439453125 × 214)
    floor (0.524200439453125 × 16384)
    floor (8588.5)     		tx = 8588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555450439453125 × 214)
    floor (0.555450439453125 × 16384)
    floor (9100.5)     		ty = 9100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8588 / 9100 ti = "14/8588/9100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8588/9100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8588 ÷ 214
    8588 ÷ 16384     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9100 ÷ 214
    9100 ÷ 16384     		y = 0.555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.348213638840088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348213638840088))-π/2
    2×atan(0.70594804218206)-π/2
    2×0.614706793961642-π/2
    1.22941358792328-1.57079632675     		φ = -0.34138274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34138274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.559790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8588 KachelY 9100 0.15186410 -0.34138274 8.701172 -19.559790
    Oben rechts KachelX + 1 8589 KachelY 9100 0.15224759 -0.34138274 8.723144 -19.559790
    Unten links KachelX 8588 KachelY + 1 9101 0.15186410 -0.34174408 8.701172 -19.580493
    Unten rechts KachelX + 1 8589 KachelY + 1 9101 0.15224759 -0.34174408 8.723144 -19.580493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34138274--0.34174408) × R
    0.000361339999999988 × 6371000     		dl = 2302.09713999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34138274--0.34174408) × R
    0.000361339999999988 × 6371000     		dr = 2302.09713999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15224759) × cos(-0.34138274) × R
    0.000383489999999986 × 0.942292638474371 × 6371000     		do = 2302.22331082862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15224759) × cos(-0.34174408) × R
    0.000383489999999986 × 0.942171603813253 × 6371000     		du = 2301.92759715448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34138274)-sin(-0.34174408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942292638474371-0.942171603813253)×R²
    abs(0.15224759-0.15186410)×0.000121034661117903×R²
    0.000383489999999986×0.000121034661117903×6371000²
    0.000383489999999986×0.000121034661117903×40589641000000     		ar = 5299601.3763611m²