Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8588 / 9089
↖ ↑ ↗
← S 19.331878°
E  8.701172°		 ← 2 305.46 m → S 19.331878°
E  8.723144°		 →
↑
2 305.35 m
↓
↑
2 305.35 m
↓
S 19.352611°
E  8.701172°		 ← 2 305.17 m →
5 314 544 m²		 S 19.352611°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524200439453125 y=0.554779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524200439453125 × 214)
    floor (0.524200439453125 × 16384)
    floor (8588.5)     		tx = 8588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554779052734375 × 214)
    floor (0.554779052734375 × 16384)
    floor (9089.5)     		ty = 9089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8588 / 9089 ti = "14/8588/9089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8588/9089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8588 ÷ 214
    8588 ÷ 16384     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9089 ÷ 214
    9089 ÷ 16384     		y = 0.55474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.343995191673523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343995191673523))-π/2
    2×atan(0.708932336819441)-π/2
    2×0.616695698708289-π/2
    1.23339139741658-1.57079632675     		φ = -0.33740493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33740493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.331878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8588 KachelY 9089 0.15186410 -0.33740493 8.701172 -19.331878
    Oben rechts KachelX + 1 8589 KachelY 9089 0.15224759 -0.33740493 8.723144 -19.331878
    Unten links KachelX 8588 KachelY + 1 9090 0.15186410 -0.33776678 8.701172 -19.352611
    Unten rechts KachelX + 1 8589 KachelY + 1 9090 0.15224759 -0.33776678 8.723144 -19.352611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33740493--0.33776678) × R
    0.000361849999999997 × 6371000     		dl = 2305.34634999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33740493--0.33776678) × R
    0.000361849999999997 × 6371000     		dr = 2305.34634999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15224759) × cos(-0.33740493) × R
    0.000383489999999986 × 0.943616912468985 × 6371000     		do = 2305.45879663828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15224759) × cos(-0.33776678) × R
    0.000383489999999986 × 0.943497064067419 × 6371000     		du = 2305.16598125101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33740493)-sin(-0.33776678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943616912468985-0.943497064067419)×R²
    abs(0.15224759-0.15186410)×0.000119848401565315×R²
    0.000383489999999986×0.000119848401565315×6371000²
    0.000383489999999986×0.000119848401565315×40589641000000     		ar = 5314543.5594521m²