Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8584 / 6040
↖ ↑ ↗
← N 42.682435°
E  8.613281°		 ← 1 796.06 m → N 42.682435°
E  8.635254°		 →
↑
1 796.30 m
↓
↑
1 796.30 m
↓
N 42.666281°
E  8.613281°		 ← 1 796.53 m →
3 226 692 m²		 N 42.666281°
E  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523956298828125 y=0.368682861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523956298828125 × 214)
    floor (0.523956298828125 × 16384)
    floor (8584.5)     		tx = 8584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368682861328125 × 214)
    floor (0.368682861328125 × 16384)
    floor (6040.5)     		ty = 6040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8584 / 6040 ti = "14/8584/6040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8584/6040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8584 ÷ 214
    8584 ÷ 16384     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6040 ÷ 214
    6040 ÷ 16384     		y = 0.36865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36865234375 × 2 - 1) × π
    0.2626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.825281663858887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825281663858887))-π/2
    2×atan(2.28252357919565)-π/2
    2×1.15787267862459-π/2
    2.31574535724917-1.57079632675     		φ = 0.74494903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74494903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.682435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8584 KachelY 6040 0.15033012 0.74494903 8.613281 42.682435
    Oben rechts KachelX + 1 8585 KachelY 6040 0.15071361 0.74494903 8.635254 42.682435
    Unten links KachelX 8584 KachelY + 1 6041 0.15033012 0.74466708 8.613281 42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 8585 KachelY + 1 6041 0.15071361 0.74466708 8.635254 42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74494903-0.74466708) × R
    0.000281949999999975 × 6371000     		dl = 1796.30344999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74494903-0.74466708) × R
    0.000281949999999975 × 6371000     		dr = 1796.30344999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15071361) × cos(0.74494903) × R
    0.000383489999999986 × 0.735122457649648 × 6371000     		do = 1796.0620609907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15071361) × cos(0.74466708) × R
    0.000383489999999986 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 1796.52899443547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74494903)-sin(0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735122457649648-0.735313572015308)×R²
    abs(0.15071361-0.15033012)×0.000191114365660439×R²
    0.000383489999999986×0.000191114365660439×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191114365660439×40589641000000     		ar = 3226691.87502472m²