Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8583 / 6038
↖ ↑ ↗
← N 42.714732°
E  8.591308°		 ← 1 795.17 m → N 42.714732°
E  8.613281°		 →
↑
1 795.41 m
↓
↑
1 795.41 m
↓
N 42.698586°
E  8.591308°		 ← 1 795.64 m →
3 223 497 m²		 N 42.698586°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523895263671875 y=0.368560791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523895263671875 × 214)
    floor (0.523895263671875 × 16384)
    floor (8583.5)     		tx = 8583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368560791015625 × 214)
    floor (0.368560791015625 × 16384)
    floor (6038.5)     		ty = 6038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8583 / 6038 ti = "14/8583/6038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8583/6038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8583 ÷ 214
    8583 ÷ 16384     		x = 0.52386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6038 ÷ 214
    6038 ÷ 16384     		y = 0.3685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52386474609375 × 2 - 1) × π
    0.0477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14994662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3685302734375 × 2 - 1) × π
    0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14994662} λ = 0.14994662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826048654252808))-π/2
    2×atan(2.28427492440141)-π/2
    2×1.15815452126014-π/2
    2.31630904252028-1.57079632675     		φ = 0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14994662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.591308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8583 KachelY 6038 0.14994662 0.74551272 8.591308 42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 8584 KachelY 6038 0.15033012 0.74551272 8.613281 42.714732
    Unten links KachelX 8583 KachelY + 1 6039 0.14994662 0.74523091 8.591308 42.698586
    Unten rechts KachelX + 1 8584 KachelY + 1 6039 0.15033012 0.74523091 8.613281 42.698586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74551272-0.74523091) × R
    0.000281810000000049 × 6371000     		dl = 1795.41151000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74551272-0.74523091) × R
    0.000281810000000049 × 6371000     		dr = 1795.41151000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14994662-0.15033012) × cos(0.74551272) × R
    0.000383500000000009 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 1795.17492414195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14994662-0.15033012) × cos(0.74523091) × R
    0.000383500000000009 × 0.734931332314747 × 6371000     		du = 1795.64192322102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74551272)-sin(0.74523091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734931332314747)×R²
    abs(0.15033012-0.14994662)×0.000191136245445311×R²
    0.000383500000000009×0.000191136245445311×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191136245445311×40589641000000     		ar = 3223496.97036211m²