Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8583 / 25991
↖ ↑ ↗
← N 34.854383°
W132.852173°		 ← 501.22 m → N 34.854383°
W132.846680°		 →
↑
501.27 m
↓
↑
501.27 m
↓
N 34.849875°
W132.852173°		 ← 501.24 m →
251 252 m²		 N 34.849875°
W132.846680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130973815917969 y=0.396598815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130973815917969 × 216)
    floor (0.130973815917969 × 65536)
    floor (8583.5)     		tx = 8583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396598815917969 × 216)
    floor (0.396598815917969 × 65536)
    floor (25991.5)     		ty = 25991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8583 / 25991 ti = "16/8583/25991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8583/25991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8583 ÷ 216
    8583 ÷ 65536     		x = 0.130966186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25991 ÷ 216
    25991 ÷ 65536     		y = 0.396591186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.738067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31870783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396591186523438 × 2 - 1) × π
    0.206817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.649736737450241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31870783} λ = -2.31870783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.649736737450241))-π/2
    2×atan(1.91503660522561)-π/2
    2×1.08956003343769-π/2
    2.17912006687538-1.57079632675     		φ = 0.60832374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31870783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60832374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.854383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8583 KachelY 25991 -2.31870783 0.60832374 -132.852173 34.854383
    Oben rechts KachelX + 1 8584 KachelY 25991 -2.31861196 0.60832374 -132.846680 34.854383
    Unten links KachelX 8583 KachelY + 1 25992 -2.31870783 0.60824506 -132.852173 34.849875
    Unten rechts KachelX + 1 8584 KachelY + 1 25992 -2.31861196 0.60824506 -132.846680 34.849875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60832374-0.60824506) × R
    7.86799999999976e-05 × 6371000     		dl = 501.270279999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60832374-0.60824506) × R
    7.86799999999976e-05 × 6371000     		dr = 501.270279999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31870783--2.31861196) × cos(0.60832374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82060714066171 × 6371000     		do = 501.216805490831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31870783--2.31861196) × cos(0.60824506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820652103168299 × 6371000     		du = 501.244268039964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60832374)-sin(0.60824506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82060714066171-0.820652103168299)×R²
    abs(-2.31861196--2.31870783)×4.49625065889192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49625065889192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49625065889192e-05×40589641000000     		ar = 251251.971638761m²