Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8582 / 25990
↖ ↑ ↗
← N 34.858890°
W132.857666°		 ← 501.24 m → N 34.858890°
W132.852173°		 →
↑
501.21 m
↓
↑
501.21 m
↓
N 34.854383°
W132.857666°		 ← 501.27 m →
251 232 m²		 N 34.854383°
W132.852173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130958557128906 y=0.396583557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130958557128906 × 216)
    floor (0.130958557128906 × 65536)
    floor (8582.5)     		tx = 8582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396583557128906 × 216)
    floor (0.396583557128906 × 65536)
    floor (25990.5)     		ty = 25990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8582 / 25990 ti = "16/8582/25990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8582/25990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8582 ÷ 216
    8582 ÷ 65536     		x = 0.130950927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25990 ÷ 216
    25990 ÷ 65536     		y = 0.396575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.73809814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31880371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396575927734375 × 2 - 1) × π
    0.20684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.649832611249481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31880371} λ = -2.31880371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.649832611249481))-π/2
    2×atan(1.91522021586223)-π/2
    2×1.08959936972212-π/2
    2.17919873944425-1.57079632675     		φ = 0.60840241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31880371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.857666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60840241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.858890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8582 KachelY 25990 -2.31880371 0.60840241 -132.857666 34.858890
    Oben rechts KachelX + 1 8583 KachelY 25990 -2.31870783 0.60840241 -132.852173 34.858890
    Unten links KachelX 8582 KachelY + 1 25991 -2.31880371 0.60832374 -132.857666 34.854383
    Unten rechts KachelX + 1 8583 KachelY + 1 25991 -2.31870783 0.60832374 -132.852173 34.854383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60840241-0.60832374) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dl = 501.206569999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60840241-0.60832374) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dr = 501.206569999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31880371--2.31870783) × cos(0.60840241) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.820562178790691 × 6371000     		do = 501.241621345989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31880371--2.31870783) × cos(0.60832374) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.82060714066171 × 6371000     		du = 501.269086371445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60840241)-sin(0.60832374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820562178790691-0.82060714066171)×R²
    abs(-2.31870783--2.31880371)×4.49618710195443e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.49618710195443e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.49618710195443e-05×40589641000000     		ar = 251232.47673096m²