Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8581 / 8079
↖ ↑ ↗
← N  2.482133°
E  8.547363°		 ← 2 440.99 m → N  2.482133°
E  8.569336°		 →
↑
2 440.98 m
↓
↑
2 440.98 m
↓
N  2.460181°
E  8.547363°		 ← 2 441.03 m →
5 958 460 m²		 N  2.460181°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523773193359375 y=0.493133544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523773193359375 × 214)
    floor (0.523773193359375 × 16384)
    floor (8581.5)     		tx = 8581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493133544921875 × 214)
    floor (0.493133544921875 × 16384)
    floor (8079.5)     		ty = 8079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8581 / 8079 ti = "14/8581/8079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8581/8079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8581 ÷ 214
    8581 ÷ 16384     		x = 0.52374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8079 ÷ 214
    8079 ÷ 16384     		y = 0.49310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49310302734375 × 2 - 1) × π
    0.0137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0433349572565308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14917963} λ = 0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0433349572565308))-π/2
    2×atan(1.04428762799342)-π/2
    2×0.807058863581246-π/2
    1.61411772716249-1.57079632675     		φ = 0.04332140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04332140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.482133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8581 KachelY 8079 0.14917963 0.04332140 8.547363 2.482133
    Oben rechts KachelX + 1 8582 KachelY 8079 0.14956313 0.04332140 8.569336 2.482133
    Unten links KachelX 8581 KachelY + 1 8080 0.14917963 0.04293826 8.547363 2.460181
    Unten rechts KachelX + 1 8582 KachelY + 1 8080 0.14956313 0.04293826 8.569336 2.460181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04332140-0.04293826) × R
    0.000383140000000004 × 6371000     		dl = 2440.98494000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04332140-0.04293826) × R
    0.000383140000000004 × 6371000     		dr = 2440.98494000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14917963-0.14956313) × cos(0.04332140) × R
    0.000383499999999981 × 0.999061774898794 × 6371000     		do = 2440.98615478194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14917963-0.14956313) × cos(0.04293826) × R
    0.000383499999999981 × 0.999078294539057 × 6371000     		du = 2441.02651686383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04332140)-sin(0.04293826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999061774898794-0.999078294539057)×R²
    abs(0.14956313-0.14917963)×1.65196402631684e-05×R²
    0.000383499999999981×1.65196402631684e-05×6371000²
    0.000383499999999981×1.65196402631684e-05×40589641000000     		ar = 5958459.77707826m²