Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8581 / 8067
↖ ↑ ↗
← N  2.745531°
E  8.547363°		 ← 2 440.47 m → N  2.745531°
E  8.569336°		 →
↑
2 440.48 m
↓
↑
2 440.48 m
↓
N  2.723583°
E  8.547363°		 ← 2 440.52 m →
5 955 971 m²		 N  2.723583°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523773193359375 y=0.492401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523773193359375 × 214)
    floor (0.523773193359375 × 16384)
    floor (8581.5)     		tx = 8581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492401123046875 × 214)
    floor (0.492401123046875 × 16384)
    floor (8067.5)     		ty = 8067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8581 / 8067 ti = "14/8581/8067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8581/8067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8581 ÷ 214
    8581 ÷ 16384     		x = 0.52374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8067 ÷ 214
    8067 ÷ 16384     		y = 0.49237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49237060546875 × 2 - 1) × π
    0.0152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14917963} λ = 0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0479368996200562))-π/2
    2×atan(1.04910445434617)-π/2
    2×0.809357438775634-π/2
    1.61871487755127-1.57079632675     		φ = 0.04791855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04791855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.745531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8581 KachelY 8067 0.14917963 0.04791855 8.547363 2.745531
    Oben rechts KachelX + 1 8582 KachelY 8067 0.14956313 0.04791855 8.569336 2.745531
    Unten links KachelX 8581 KachelY + 1 8068 0.14917963 0.04753549 8.547363 2.723583
    Unten rechts KachelX + 1 8582 KachelY + 1 8068 0.14956313 0.04753549 8.569336 2.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04791855-0.04753549) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dl = 2440.47525999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04791855-0.04753549) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dr = 2440.47525999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14917963-0.14956313) × cos(0.04791855) × R
    0.000383499999999981 × 0.998852125952665 × 6371000     		do = 2440.47392401932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14917963-0.14956313) × cos(0.04753549) × R
    0.000383499999999981 × 0.998870401324842 × 6371000     		du = 2440.51857584324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04791855)-sin(0.04753549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998852125952665-0.998870401324842)×R²
    abs(0.14956313-0.14917963)×1.82753721762463e-05×R²
    0.000383499999999981×1.82753721762463e-05×6371000²
    0.000383499999999981×1.82753721762463e-05×40589641000000     		ar = 5955970.79290912m²