Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8580 / 9092
↖ ↑ ↗
← S 19.394068°
E  8.525391°		 ← 2 304.58 m → S 19.394068°
E  8.547363°		 →
↑
2 304.45 m
↓
↑
2 304.45 m
↓
S 19.414792°
E  8.525391°		 ← 2 304.29 m →
5 310 460 m²		 S 19.414792°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523712158203125 y=0.554962158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523712158203125 × 214)
    floor (0.523712158203125 × 16384)
    floor (8580.5)     		tx = 8580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554962158203125 × 214)
    floor (0.554962158203125 × 16384)
    floor (9092.5)     		ty = 9092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8580 / 9092 ti = "14/8580/9092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8580/9092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8580 ÷ 214
    8580 ÷ 16384     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9092 ÷ 214
    9092 ÷ 16384     		y = 0.554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345145677264404))-π/2
    2×atan(0.708117189378625)-π/2
    2×0.616152993337102-π/2
    1.2323059866742-1.57079632675     		φ = -0.33849034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33849034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.394068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8580 KachelY 9092 0.14879614 -0.33849034 8.525391 -19.394068
    Oben rechts KachelX + 1 8581 KachelY 9092 0.14917963 -0.33849034 8.547363 -19.394068
    Unten links KachelX 8580 KachelY + 1 9093 0.14879614 -0.33885205 8.525391 -19.414792
    Unten rechts KachelX + 1 8581 KachelY + 1 9093 0.14917963 -0.33885205 8.547363 -19.414792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33849034--0.33885205) × R
    0.000361710000000015 × 6371000     		dl = 2304.4544100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33849034--0.33885205) × R
    0.000361710000000015 × 6371000     		dr = 2304.4544100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14917963) × cos(-0.33849034) × R
    0.000383490000000014 × 0.943257043157337 × 6371000     		do = 2304.57955861376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14917963) × cos(-0.33885205) × R
    0.000383490000000014 × 0.943136870775797 × 6371000     		du = 2304.28595167383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33849034)-sin(-0.33885205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943257043157337-0.943136870775797)×R²
    abs(0.14917963-0.14879614)×0.000120172381539496×R²
    0.000383490000000014×0.000120172381539496×6371000²
    0.000383490000000014×0.000120172381539496×40589641000000     		ar = 5310460.28303854m²