Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8580 / 8075
↖ ↑ ↗
← N  2.569939°
E  8.525391°		 ← 2 440.76 m → N  2.569939°
E  8.547363°		 →
↑
2 440.79 m
↓
↑
2 440.79 m
↓
N  2.547988°
E  8.525391°		 ← 2 440.80 m →
5 957 437 m²		 N  2.547988°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523712158203125 y=0.492889404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523712158203125 × 214)
    floor (0.523712158203125 × 16384)
    floor (8580.5)     		tx = 8580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492889404296875 × 214)
    floor (0.492889404296875 × 16384)
    floor (8075.5)     		ty = 8075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8580 / 8075 ti = "14/8580/8075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8580/8075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8580 ÷ 214
    8580 ÷ 16384     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8075 ÷ 214
    8075 ÷ 16384     		y = 0.49285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49285888671875 × 2 - 1) × π
    0.0142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0448689380443726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0448689380443726))-π/2
    2×atan(1.0458907744353)-π/2
    2×0.807825108613157-π/2
    1.61565021722631-1.57079632675     		φ = 0.04485389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04485389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.569939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8580 KachelY 8075 0.14879614 0.04485389 8.525391 2.569939
    Oben rechts KachelX + 1 8581 KachelY 8075 0.14917963 0.04485389 8.547363 2.569939
    Unten links KachelX 8580 KachelY + 1 8076 0.14879614 0.04447078 8.525391 2.547988
    Unten rechts KachelX + 1 8581 KachelY + 1 8076 0.14917963 0.04447078 8.547363 2.547988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04485389-0.04447078) × R
    0.000383109999999999 × 6371000     		dl = 2440.79380999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04485389-0.04447078) × R
    0.000383109999999999 × 6371000     		dr = 2440.79380999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14917963) × cos(0.04485389) × R
    0.000383490000000014 × 0.998994232915738 × 6371000     		do = 2440.75748498453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14917963) × cos(0.04447078) × R
    0.000383490000000014 × 0.999011337814879 × 6371000     		du = 2440.79927592709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04485389)-sin(0.04447078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998994232915738-0.999011337814879)×R²
    abs(0.14917963-0.14879614)×1.71048991408629e-05×R²
    0.000383490000000014×1.71048991408629e-05×6371000²
    0.000383490000000014×1.71048991408629e-05×40589641000000     		ar = 5957436.83546435m²