Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 858 / 230
↖ ↑ ↗
← N 79.997168°
W 29.179687°		 ← 3 395.07 m → N 79.997168°
W 29.003906°		 →
↑
3 400.20 m
↓
↑
3 400.20 m
↓
N 79.966590°
W 29.179687°		 ← 3 405.35 m →
11 561 404 m²		 N 79.966590°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419189453125 y=0.112548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419189453125 × 211)
    floor (0.419189453125 × 2048)
    floor (858.5)     		tx = 858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112548828125 × 211)
    floor (0.112548828125 × 2048)
    floor (230.5)     		ty = 230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 858 / 230 ti = "11/858/230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/858/230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 858 ÷ 211
    858 ÷ 2048     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 230 ÷ 211
    230 ÷ 2048     		y = 0.1123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1123046875 × 2 - 1) × π
    0.775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43596149109277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43596149109277))-π/2
    2×atan(11.4268001998313)-π/2
    2×1.48350515384248-π/2
    2.96701030768495-1.57079632675     		φ = 1.39621398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39621398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.997168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 858 KachelY 230 -0.50928162 1.39621398 -29.179687 79.997168
    Oben rechts KachelX + 1 859 KachelY 230 -0.50621366 1.39621398 -29.003906 79.997168
    Unten links KachelX 858 KachelY + 1 231 -0.50928162 1.39568028 -29.179687 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 859 KachelY + 1 231 -0.50621366 1.39568028 -29.003906 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39621398-1.39568028) × R
    0.000533699999999859 × 6371000     		dl = 3400.2026999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39621398-1.39568028) × R
    0.000533699999999859 × 6371000     		dr = 3400.2026999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50621366) × cos(1.39621398) × R
    0.00306795999999998 × 0.173696848225222 × 6371000     		do = 3395.07393338676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50621366) × cos(1.39568028) × R
    0.00306795999999998 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 3405.34656497018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39621398)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173696848225222-0.174222410779684)×R²
    abs(-0.50621366--0.50928162)×0.000525562554462011×R²
    0.00306795999999998×0.000525562554462011×6371000²
    0.00306795999999998×0.000525562554462011×40589641000000     		ar = 11561404.3442387m²