Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8579 / 9091
↖ ↑ ↗
← S 19.373341°
E  8.503418°		 ← 2 304.93 m → S 19.373341°
E  8.525391°		 →
↑
2 304.77 m
↓
↑
2 304.77 m
↓
S 19.394068°
E  8.503418°		 ← 2 304.64 m →
5 312 009 m²		 S 19.394068°
E  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523651123046875 y=0.554901123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523651123046875 × 214)
    floor (0.523651123046875 × 16384)
    floor (8579.5)     		tx = 8579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554901123046875 × 214)
    floor (0.554901123046875 × 16384)
    floor (9091.5)     		ty = 9091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8579 / 9091 ti = "14/8579/9091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8579/9091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8579 ÷ 214
    8579 ÷ 16384     		x = 0.52362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9091 ÷ 214
    9091 ÷ 16384     		y = 0.55487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14841264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.344762182067444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14841264} λ = 0.14841264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344762182067444))-π/2
    2×atan(0.708388800997184)-π/2
    2×0.616333872122662-π/2
    1.23266774424532-1.57079632675     		φ = -0.33812858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14841264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33812858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.373341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8579 KachelY 9091 0.14841264 -0.33812858 8.503418 -19.373341
    Oben rechts KachelX + 1 8580 KachelY 9091 0.14879614 -0.33812858 8.525391 -19.373341
    Unten links KachelX 8579 KachelY + 1 9092 0.14841264 -0.33849034 8.503418 -19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 8580 KachelY + 1 9092 0.14879614 -0.33849034 8.525391 -19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33812858--0.33849034) × R
    0.000361759999999989 × 6371000     		dl = 2304.77295999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33812858--0.33849034) × R
    0.000361759999999989 × 6371000     		dr = 2304.77295999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14841264-0.14879614) × cos(-0.33812858) × R
    0.000383499999999981 × 0.943377108714781 × 6371000     		do = 2304.93300711487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14841264-0.14879614) × cos(-0.33849034) × R
    0.000383499999999981 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 2304.63965351978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33812858)-sin(-0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943377108714781-0.943257043157337)×R²
    abs(0.14879614-0.14841264)×0.000120065557444038×R²
    0.000383499999999981×0.000120065557444038×6371000²
    0.000383499999999981×0.000120065557444038×40589641000000     		ar = 5312009.27062518m²