Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8579 / 9090
↖ ↑ ↗
← S 19.352611°
E  8.503418°		 ← 2 305.23 m → S 19.352611°
E  8.525391°		 →
↑
2 305.03 m
↓
↑
2 305.03 m
↓
S 19.373341°
E  8.503418°		 ← 2 304.93 m →
5 313 273 m²		 S 19.373341°
E  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523651123046875 y=0.554840087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523651123046875 × 214)
    floor (0.523651123046875 × 16384)
    floor (8579.5)     		tx = 8579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554840087890625 × 214)
    floor (0.554840087890625 × 16384)
    floor (9090.5)     		ty = 9090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8579 / 9090 ti = "14/8579/9090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8579/9090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8579 ÷ 214
    8579 ÷ 16384     		x = 0.52362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9090 ÷ 214
    9090 ÷ 16384     		y = 0.5548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14841264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.344378686870483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14841264} λ = 0.14841264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344378686870483))-π/2
    2×atan(0.708660516797469)-π/2
    2×0.616514773919976-π/2
    1.23302954783995-1.57079632675     		φ = -0.33776678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14841264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33776678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.352611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8579 KachelY 9090 0.14841264 -0.33776678 8.503418 -19.352611
    Oben rechts KachelX + 1 8580 KachelY 9090 0.14879614 -0.33776678 8.525391 -19.352611
    Unten links KachelX 8579 KachelY + 1 9091 0.14841264 -0.33812858 8.503418 -19.373341
    Unten rechts KachelX + 1 8580 KachelY + 1 9091 0.14879614 -0.33812858 8.525391 -19.373341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33776678--0.33812858) × R
    0.000361800000000023 × 6371000     		dl = 2305.02780000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33776678--0.33812858) × R
    0.000361800000000023 × 6371000     		dr = 2305.02780000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14841264-0.14879614) × cos(-0.33776678) × R
    0.000383499999999981 × 0.943497064067419 × 6371000     		do = 2305.22609144893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14841264-0.14879614) × cos(-0.33812858) × R
    0.000383499999999981 × 0.943377108714781 × 6371000     		du = 2304.93300711487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33776678)-sin(-0.33812858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943497064067419-0.943377108714781)×R²
    abs(0.14879614-0.14841264)×0.000119955352638423×R²
    0.000383499999999981×0.000119955352638423×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119955352638423×40589641000000     		ar = 5313272.50026468m²