Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8576 / 7896
↖ ↑ ↗
← N 79.472592°
W132.890625°		 ← 111.59 m → N 79.472592°
W132.885132°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.471588°
W132.890625°		 ← 111.61 m →
12 450 m²		 N 79.471588°
W132.885132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130867004394531 y=0.120491027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130867004394531 × 216)
    floor (0.130867004394531 × 65536)
    floor (8576.5)     		tx = 8576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120491027832031 × 216)
    floor (0.120491027832031 × 65536)
    floor (7896.5)     		ty = 7896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8576 / 7896 ti = "16/8576/7896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8576/7896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8576 ÷ 216
    8576 ÷ 65536     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7896 ÷ 216
    7896 ÷ 65536     		y = 0.1204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1204833984375 × 2 - 1) × π
    0.759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38457313470007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38457313470007))-π/2
    2×atan(10.8544282970749)-π/2
    2×1.47892735994158-π/2
    2.95785471988317-1.57079632675     		φ = 1.38705839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38705839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.472592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8576 KachelY 7896 -2.31937895 1.38705839 -132.890625 79.472592
    Oben rechts KachelX + 1 8577 KachelY 7896 -2.31928308 1.38705839 -132.885132 79.472592
    Unten links KachelX 8576 KachelY + 1 7897 -2.31937895 1.38704088 -132.890625 79.471588
    Unten rechts KachelX + 1 8577 KachelY + 1 7897 -2.31928308 1.38704088 -132.885132 79.471588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38705839-1.38704088) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38705839-1.38704088) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31928308) × cos(1.38705839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182705859687153 × 6371000     		do = 111.594504604247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31928308) × cos(1.38704088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182723074924168 × 6371000     		du = 111.605019460473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38705839)-sin(1.38704088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182705859687153-0.182723074924168)×R²
    abs(-2.31928308--2.31937895)×1.72152370148393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72152370148393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72152370148393e-05×40589641000000     		ar = 12449.6464897973m²