Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8576 / 25984
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W132.890625°		 ← 501.02 m → N 34.885931°
W132.885132°		 →
↑
501.08 m
↓
↑
501.08 m
↓
N 34.881425°
W132.890625°		 ← 501.05 m →
251 060 m²		 N 34.881425°
W132.885132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130867004394531 y=0.396492004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130867004394531 × 216)
    floor (0.130867004394531 × 65536)
    floor (8576.5)     		tx = 8576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396492004394531 × 216)
    floor (0.396492004394531 × 65536)
    floor (25984.5)     		ty = 25984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8576 / 25984 ti = "16/8576/25984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8576/25984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8576 ÷ 216
    8576 ÷ 65536     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25984 ÷ 216
    25984 ÷ 65536     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8576 KachelY 25984 -2.31937895 0.60887436 -132.890625 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 8577 KachelY 25984 -2.31928308 0.60887436 -132.885132 34.885931
    Unten links KachelX 8576 KachelY + 1 25985 -2.31937895 0.60879571 -132.890625 34.881425
    Unten rechts KachelX + 1 8577 KachelY + 1 25985 -2.31928308 0.60879571 -132.885132 34.881425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60879571) × R
    7.86499999999579e-05 × 6371000     		dl = 501.079149999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60879571) × R
    7.86499999999579e-05 × 6371000     		dr = 501.079149999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31928308) × cos(0.60887436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 501.024529685055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31928308) × cos(0.60879571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820337321858651 × 6371000     		du = 501.052003465807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60879571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820337321858651)×R²
    abs(-2.31928308--2.31937895)×4.49808953308928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49808953308928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49808953308928e-05×40589641000000     		ar = 251059.828862458m²