Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8574 / 9086
↖ ↑ ↗
← S 19.269666°
E  8.393555°		 ← 2 306.34 m → S 19.269666°
E  8.415527°		 →
↑
2 306.17 m
↓
↑
2 306.17 m
↓
S 19.290405°
E  8.393555°		 ← 2 306.04 m →
5 318 476 m²		 S 19.290405°
E  8.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523345947265625 y=0.554595947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523345947265625 × 214)
    floor (0.523345947265625 × 16384)
    floor (8574.5)     		tx = 8574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554595947265625 × 214)
    floor (0.554595947265625 × 16384)
    floor (9086.5)     		ty = 9086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8574 / 9086 ti = "14/8574/9086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8574/9086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8574 ÷ 214
    8574 ÷ 16384     		x = 0.5233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9086 ÷ 214
    9086 ÷ 16384     		y = 0.5545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.342844706082642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14649517} λ = 0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342844706082642))-π/2
    2×atan(0.709748422615321)-π/2
    2×0.617238610811446-π/2
    1.23447722162289-1.57079632675     		φ = -0.33631911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33631911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.269666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8574 KachelY 9086 0.14649517 -0.33631911 8.393555 -19.269666
    Oben rechts KachelX + 1 8575 KachelY 9086 0.14687866 -0.33631911 8.415527 -19.269666
    Unten links KachelX 8574 KachelY + 1 9087 0.14649517 -0.33668109 8.393555 -19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 8575 KachelY + 1 9087 0.14687866 -0.33668109 8.415527 -19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33631911--0.33668109) × R
    0.000361980000000039 × 6371000     		dl = 2306.17458000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33631911--0.33668109) × R
    0.000361980000000039 × 6371000     		dr = 2306.17458000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14649517-0.14687866) × cos(-0.33631911) × R
    0.000383489999999986 × 0.943975805397719 × 6371000     		do = 2306.33564914979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14649517-0.14687866) × cos(-0.33668109) × R
    0.000383489999999986 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 2306.04363477428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33631911)-sin(-0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943975805397719-0.943856284847703)×R²
    abs(0.14687866-0.14649517)×0.000119520550016072×R²
    0.000383489999999986×0.000119520550016072×6371000²
    0.000383489999999986×0.000119520550016072×40589641000000     		ar = 5318475.98702616m²