Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8573 / 8573
↖ ↑ ↗
← S  8.341953°
E  8.371582°		 ← 2 417.43 m → S  8.341953°
E  8.393555°		 →
↑
2 417.28 m
↓
↑
2 417.28 m
↓
S  8.363692°
E  8.371582°		 ← 2 417.29 m →
5 843 450 m²		 S  8.363692°
E  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523284912109375 y=0.523284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523284912109375 × 214)
    floor (0.523284912109375 × 16384)
    floor (8573.5)     		tx = 8573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523284912109375 × 214)
    floor (0.523284912109375 × 16384)
    floor (8573.5)     		ty = 8573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8573 / 8573 ti = "14/8573/8573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8573/8573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8573 ÷ 214
    8573 ÷ 16384     		x = 0.52325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8573 ÷ 214
    8573 ÷ 16384     		y = 0.52325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.146111670041931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14611167} λ = 0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146111670041931))-π/2
    2×atan(0.864061208045601)-π/2
    2×0.712600889792633-π/2
    1.42520177958527-1.57079632675     		φ = -0.14559455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14559455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.341953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8573 KachelY 8573 0.14611167 -0.14559455 8.371582 -8.341953
    Oben rechts KachelX + 1 8574 KachelY 8573 0.14649517 -0.14559455 8.393555 -8.341953
    Unten links KachelX 8573 KachelY + 1 8574 0.14611167 -0.14597397 8.371582 -8.363692
    Unten rechts KachelX + 1 8574 KachelY + 1 8574 0.14649517 -0.14597397 8.393555 -8.363692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14559455--0.14597397) × R
    0.000379420000000019 × 6371000     		dl = 2417.28482000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14559455--0.14597397) × R
    0.000379420000000019 × 6371000     		dr = 2417.28482000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14611167-0.14649517) × cos(-0.14559455) × R
    0.000383500000000009 × 0.989419823013303 × 6371000     		do = 2417.42818104226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14611167-0.14649517) × cos(-0.14597397) × R
    0.000383500000000009 × 0.989364705271577 × 6371000     		du = 2417.29351304894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14559455)-sin(-0.14597397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989419823013303-0.989364705271577)×R²
    abs(0.14649517-0.14611167)×5.51177417253967e-05×R²
    0.000383500000000009×5.51177417253967e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.51177417253967e-05×40589641000000     		ar = 5843449.75012742m²