Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8572 / 7892
↖ ↑ ↗
← N 79.476606°
W132.912598°		 ← 111.56 m → N 79.476606°
W132.907104°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.475603°
W132.912598°		 ← 111.57 m →
12 446 m²		 N 79.475603°
W132.907104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130805969238281 y=0.120429992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130805969238281 × 216)
    floor (0.130805969238281 × 65536)
    floor (8572.5)     		tx = 8572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120429992675781 × 216)
    floor (0.120429992675781 × 65536)
    floor (7892.5)     		ty = 7892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8572 / 7892 ti = "16/8572/7892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8572/7892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8572 ÷ 216
    8572 ÷ 65536     		x = 0.13079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7892 ÷ 216
    7892 ÷ 65536     		y = 0.12042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.7384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31976245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12042236328125 × 2 - 1) × π
    0.7591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38495662989703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31976245} λ = -2.31976245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38495662989703))-π/2
    2×atan(10.8585917164672)-π/2
    2×1.47896238674713-π/2
    2.95792477349425-1.57079632675     		φ = 1.38712845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31976245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38712845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.476606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8572 KachelY 7892 -2.31976245 1.38712845 -132.912598 79.476606
    Oben rechts KachelX + 1 8573 KachelY 7892 -2.31966657 1.38712845 -132.907104 79.476606
    Unten links KachelX 8572 KachelY + 1 7893 -2.31976245 1.38711094 -132.912598 79.475603
    Unten rechts KachelX + 1 8573 KachelY + 1 7893 -2.31966657 1.38711094 -132.907104 79.475603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38712845-1.38711094) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dl = 111.556210001051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38712845-1.38711094) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dr = 111.556210001051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31976245--2.31966657) × cos(1.38712845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182636978515362 × 6371000     		do = 111.564068628764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31976245--2.31966657) × cos(1.38711094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182654193976479 × 6371000     		du = 111.574584718666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38712845)-sin(1.38711094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182636978515362-0.182654193976479)×R²
    abs(-2.31966657--2.31976245)×1.72154611179087e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72154611179087e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72154611179087e-05×40589641000000     		ar = 12446.2512362252m²