Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8571 / 7922
↖ ↑ ↗
← N 79.446465°
W132.918091°		 ← 111.87 m → N 79.446465°
W132.912598°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
N 79.445459°
W132.918091°		 ← 111.88 m →
12 516 m²		 N 79.445459°
W132.912598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130790710449219 y=0.120887756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130790710449219 × 216)
    floor (0.130790710449219 × 65536)
    floor (8571.5)     		tx = 8571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120887756347656 × 216)
    floor (0.120887756347656 × 65536)
    floor (7922.5)     		ty = 7922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8571 / 7922 ti = "16/8571/7922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8571/7922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8571 ÷ 216
    8571 ÷ 65536     		x = 0.130783081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7922 ÷ 216
    7922 ÷ 65536     		y = 0.120880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130783081054688 × 2 - 1) × π
    -0.738433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31985832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120880126953125 × 2 - 1) × π
    0.75823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38208041591983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31985832} λ = -2.31985832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38208041591983))-π/2
    2×atan(10.8274049545994)-π/2
    2×1.47869936352122-π/2
    2.95739872704244-1.57079632675     		φ = 1.38660240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31985832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.918091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38660240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.446465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8571 KachelY 7922 -2.31985832 1.38660240 -132.918091 79.446465
    Oben rechts KachelX + 1 8572 KachelY 7922 -2.31976245 1.38660240 -132.912598 79.446465
    Unten links KachelX 8571 KachelY + 1 7923 -2.31985832 1.38658484 -132.918091 79.445459
    Unten rechts KachelX + 1 8572 KachelY + 1 7923 -2.31976245 1.38658484 -132.912598 79.445459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38660240-1.38658484) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38660240-1.38658484) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31985832--2.31976245) × cos(1.38660240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18315415527989 × 6371000     		do = 111.868318069635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31985832--2.31976245) × cos(1.38658484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		du = 111.878862056405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38660240)-sin(1.38658484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18315415527989-0.183171418210302)×R²
    abs(-2.31976245--2.31985832)×1.72629304121263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72629304121263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72629304121263e-05×40589641000000     		ar = 12515.8310387928m²