Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8570 / 7858
↖ ↑ ↗
← N 79.510662°
W132.923584°		 ← 111.20 m → N 79.510662°
W132.918091°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
N 79.509661°
W132.923584°		 ← 111.21 m →
12 370 m²		 N 79.509661°
W132.918091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130775451660156 y=0.119911193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130775451660156 × 216)
    floor (0.130775451660156 × 65536)
    floor (8570.5)     		tx = 8570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119911193847656 × 216)
    floor (0.119911193847656 × 65536)
    floor (7858.5)     		ty = 7858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8570 / 7858 ti = "16/8570/7858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8570/7858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8570 ÷ 216
    8570 ÷ 65536     		x = 0.130767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7858 ÷ 216
    7858 ÷ 65536     		y = 0.119903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.73846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31995419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119903564453125 × 2 - 1) × π
    0.76019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3882163390712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31995419} λ = -2.31995419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3882163390712))-π/2
    2×atan(10.8940453203295)-π/2
    2×1.47925958195987-π/2
    2.95851916391974-1.57079632675     		φ = 1.38772284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31995419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.923584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38772284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.510662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8570 KachelY 7858 -2.31995419 1.38772284 -132.923584 79.510662
    Oben rechts KachelX + 1 8571 KachelY 7858 -2.31985832 1.38772284 -132.918091 79.510662
    Unten links KachelX 8570 KachelY + 1 7859 -2.31995419 1.38770538 -132.923584 79.509661
    Unten rechts KachelX + 1 8571 KachelY + 1 7859 -2.31985832 1.38770538 -132.918091 79.509661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38772284-1.38770538) × R
    1.74599999998026e-05 × 6371000     		dl = 111.237659998743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38772284-1.38770538) × R
    1.74599999998026e-05 × 6371000     		dr = 111.237659998743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31995419--2.31985832) × cos(1.38772284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182052553678423 × 6371000     		do = 111.195473284047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31995419--2.31985832) × cos(1.38770538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182069721873152 × 6371000     		du = 111.20595940742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38772284)-sin(1.38770538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182052553678423-0.182069721873152)×R²
    abs(-2.31985832--2.31995419)×1.71681947284397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71681947284397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71681947284397e-05×40589641000000     		ar = 12369.7074767012m²