Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 857 / 190
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W 29.355469°		 ← 3 007.96 m → N 81.147481°
W 29.179687°		 →
↑
3 012.53 m
↓
↑
3 012.53 m
↓
N 81.120389°
W 29.355469°		 ← 3 017.09 m →
9 075 321 m²		 N 81.120389°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418701171875 y=0.093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418701171875 × 211)
    floor (0.418701171875 × 2048)
    floor (857.5)     		tx = 857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093017578125 × 211)
    floor (0.093017578125 × 2048)
    floor (190.5)     		ty = 190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 857 / 190 ti = "11/857/190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/857/190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 857 ÷ 211
    857 ÷ 2048     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 190 ÷ 211
    190 ÷ 2048     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 857 KachelY 190 -0.51234958 1.41629072 -29.355469 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 858 KachelY 190 -0.50928162 1.41629072 -29.179687 81.147481
    Unten links KachelX 857 KachelY + 1 191 -0.51234958 1.41581787 -29.355469 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 858 KachelY + 1 191 -0.50928162 1.41581787 -29.179687 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41581787) × R
    0.000472849999999969 × 6371000     		dl = 3012.5273499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41581787) × R
    0.000472849999999969 × 6371000     		dr = 3012.5273499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.50928162) × cos(1.41629072) × R
    0.00306795999999998 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 3007.96136180688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.50928162) × cos(1.41581787) × R
    0.00306795999999998 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 3017.09324171337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.154358814320269)×R²
    abs(-0.50928162--0.51234958)×0.000467200063754503×R²
    0.00306795999999998×0.000467200063754503×6371000²
    0.00306795999999998×0.000467200063754503×40589641000000     		ar = 9075321.05827327m²