Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8569 / 8698
↖ ↑ ↗
← S 11.049038°
E  8.283691°		 ← 2 397.93 m → S 11.049038°
E  8.305664°		 →
↑
2 397.85 m
↓
↑
2 397.85 m
↓
S 11.070603°
E  8.283691°		 ← 2 397.75 m →
5 749 664 m²		 S 11.070603°
E  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523040771484375 y=0.530914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523040771484375 × 214)
    floor (0.523040771484375 × 16384)
    floor (8569.5)     		tx = 8569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530914306640625 × 214)
    floor (0.530914306640625 × 16384)
    floor (8698.5)     		ty = 8698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8569 / 8698 ti = "14/8569/8698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8569/8698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8569 ÷ 214
    8569 ÷ 16384     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8698 ÷ 214
    8698 ÷ 16384     		y = 0.5308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194048569661987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194048569661987))-π/2
    2×atan(0.823617900454067)-π/2
    2×0.688977114237079-π/2
    1.37795422847416-1.57079632675     		φ = -0.19284210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19284210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.049038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8569 KachelY 8698 0.14457769 -0.19284210 8.283691 -11.049038
    Oben rechts KachelX + 1 8570 KachelY 8698 0.14496118 -0.19284210 8.305664 -11.049038
    Unten links KachelX 8569 KachelY + 1 8699 0.14457769 -0.19321847 8.283691 -11.070603
    Unten rechts KachelX + 1 8570 KachelY + 1 8699 0.14496118 -0.19321847 8.305664 -11.070603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19284210--0.19321847) × R
    0.000376370000000015 × 6371000     		dl = 2397.85327000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19284210--0.19321847) × R
    0.000376370000000015 × 6371000     		dr = 2397.85327000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14496118) × cos(-0.19284210) × R
    0.000383489999999986 × 0.98146351389162 × 6371000     		do = 2397.92617298529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14496118) × cos(-0.19321847) × R
    0.000383489999999986 × 0.981391313413767 × 6371000     		du = 2397.74977170995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19284210)-sin(-0.19321847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98146351389162-0.981391313413767)×R²
    abs(0.14496118-0.14457769)×7.22004778530572e-05×R²
    0.000383489999999986×7.22004778530572e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.22004778530572e-05×40589641000000     		ar = 5749663.69079601m²