Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8569 / 8569
↖ ↑ ↗
← S  8.254983°
E  8.283691°		 ← 2 417.90 m → S  8.254983°
E  8.305664°		 →
↑
2 417.86 m
↓
↑
2 417.86 m
↓
S  8.276727°
E  8.283691°		 ← 2 417.77 m →
5 845 979 m²		 S  8.276727°
E  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523040771484375 y=0.523040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523040771484375 × 214)
    floor (0.523040771484375 × 16384)
    floor (8569.5)     		tx = 8569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523040771484375 × 214)
    floor (0.523040771484375 × 16384)
    floor (8569.5)     		ty = 8569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8569 / 8569 ti = "14/8569/8569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8569/8569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8569 ÷ 214
    8569 ÷ 16384     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8569 ÷ 214
    8569 ÷ 16384     		y = 0.52301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144577689254089))-π/2
    2×atan(0.865387678468225)-π/2
    2×0.71335984945184-π/2
    1.42671969890368-1.57079632675     		φ = -0.14407663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14407663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.254983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8569 KachelY 8569 0.14457769 -0.14407663 8.283691 -8.254983
    Oben rechts KachelX + 1 8570 KachelY 8569 0.14496118 -0.14407663 8.305664 -8.254983
    Unten links KachelX 8569 KachelY + 1 8570 0.14457769 -0.14445614 8.283691 -8.276727
    Unten rechts KachelX + 1 8570 KachelY + 1 8570 0.14496118 -0.14445614 8.305664 -8.276727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14407663--0.14445614) × R
    0.00037951 × 6371000     		dl = 2417.85821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14407663--0.14445614) × R
    0.00037951 × 6371000     		dr = 2417.85821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14496118) × cos(-0.14407663) × R
    0.000383489999999986 × 0.989638903995905 × 6371000     		do = 2417.9004070021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14496118) × cos(-0.14445614) × R
    0.000383489999999986 × 0.989584343181488 × 6371000     		du = 2417.76710321336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14407663)-sin(-0.14445614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989638903995905-0.989584343181488)×R²
    abs(0.14496118-0.14457769)×5.45608144169041e-05×R²
    0.000383489999999986×5.45608144169041e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.45608144169041e-05×40589641000000     		ar = 5845979.26536782m²