Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8567 / 8551
↖ ↑ ↗
← S  7.863382°
E  8.239746°		 ← 2 420.24 m → S  7.863382°
E  8.261719°		 →
↑
2 420.22 m
↓
↑
2 420.22 m
↓
S  7.885147°
E  8.239746°		 ← 2 420.11 m →
5 857 352 m²		 S  7.885147°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522918701171875 y=0.521942138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522918701171875 × 214)
    floor (0.522918701171875 × 16384)
    floor (8567.5)     		tx = 8567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521942138671875 × 214)
    floor (0.521942138671875 × 16384)
    floor (8551.5)     		ty = 8551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8567 / 8551 ti = "14/8567/8551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8567/8551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8567 ÷ 214
    8567 ÷ 16384     		x = 0.52288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8551 ÷ 214
    8551 ÷ 16384     		y = 0.52191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137674775708801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14381070} λ = 0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137674775708801))-π/2
    2×atan(0.8713820402738)-π/2
    2×0.716777211977367-π/2
    1.43355442395473-1.57079632675     		φ = -0.13724190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13724190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.863382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8567 KachelY 8551 0.14381070 -0.13724190 8.239746 -7.863382
    Oben rechts KachelX + 1 8568 KachelY 8551 0.14419419 -0.13724190 8.261719 -7.863382
    Unten links KachelX 8567 KachelY + 1 8552 0.14381070 -0.13762178 8.239746 -7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 8568 KachelY + 1 8552 0.14419419 -0.13762178 8.261719 -7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13724190--0.13762178) × R
    0.000379879999999999 × 6371000     		dl = 2420.21547999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13724190--0.13762178) × R
    0.000379879999999999 × 6371000     		dr = 2420.21547999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14381070-0.14419419) × cos(-0.13724190) × R
    0.000383489999999986 × 0.990597103247781 × 6371000     		do = 2420.24149358605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14381070-0.14419419) × cos(-0.13762178) × R
    0.000383489999999986 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 2420.11434034013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13724190)-sin(-0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990597103247781-0.990545059830871)×R²
    abs(0.14419419-0.14381070)×5.20434169101192e-05×R²
    0.000383489999999986×5.20434169101192e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.20434169101192e-05×40589641000000     		ar = 5857352.12942725m²