Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8567 / 7863
↖ ↑ ↗
← N 79.505661°
W132.940064°		 ← 111.26 m → N 79.505661°
W132.934570°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 79.504660°
W132.940064°		 ← 111.27 m →
12 384 m²		 N 79.504660°
W132.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130729675292969 y=0.119987487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130729675292969 × 216)
    floor (0.130729675292969 × 65536)
    floor (8567.5)     		tx = 8567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119987487792969 × 216)
    floor (0.119987487792969 × 65536)
    floor (7863.5)     		ty = 7863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8567 / 7863 ti = "16/8567/7863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8567/7863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8567 ÷ 216
    8567 ÷ 65536     		x = 0.130722045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7863 ÷ 216
    7863 ÷ 65536     		y = 0.119979858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130722045898438 × 2 - 1) × π
    -0.738555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32024182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119979858398438 × 2 - 1) × π
    0.760040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.387736970075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32024182} λ = -2.32024182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.387736970075))-π/2
    2×atan(10.8888243042563)-π/2
    2×1.47921593649878-π/2
    2.95843187299755-1.57079632675     		φ = 1.38763555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32024182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.940064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38763555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.505661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8567 KachelY 7863 -2.32024182 1.38763555 -132.940064 79.505661
    Oben rechts KachelX + 1 8568 KachelY 7863 -2.32014594 1.38763555 -132.934570 79.505661
    Unten links KachelX 8567 KachelY + 1 7864 -2.32024182 1.38761808 -132.940064 79.504660
    Unten rechts KachelX + 1 8568 KachelY + 1 7864 -2.32014594 1.38761808 -132.934570 79.504660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38763555-1.38761808) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38763555-1.38761808) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32024182--2.32014594) × cos(1.38763555) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182138384264242 × 6371000     		do = 111.259501592548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32024182--2.32014594) × cos(1.38761808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182155562014126 × 6371000     		du = 111.269994646488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38763555)-sin(1.38761808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182138384264242-0.182155562014126)×R²
    abs(-2.32014594--2.32024182)×1.71777498840786e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71777498840786e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71777498840786e-05×40589641000000     		ar = 12383.9188988182m²