Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8566 / 8558
↖ ↑ ↗
← S  8.015716°
E  8.217773°		 ← 2 419.41 m → S  8.015716°
E  8.239746°		 →
↑
2 419.26 m
↓
↑
2 419.26 m
↓
S  8.037473°
E  8.217773°		 ← 2 419.28 m →
5 853 018 m²		 S  8.037473°
E  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522857666015625 y=0.522369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522857666015625 × 214)
    floor (0.522857666015625 × 16384)
    floor (8566.5)     		tx = 8566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522369384765625 × 214)
    floor (0.522369384765625 × 16384)
    floor (8558.5)     		ty = 8558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8566 / 8558 ti = "14/8566/8558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8566/8558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8566 ÷ 214
    8566 ÷ 16384     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8558 ÷ 214
    8558 ÷ 16384     		y = 0.5223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.140359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140359242087524))-π/2
    2×atan(0.869045981422258)-π/2
    2×0.715447845365636-π/2
    1.43089569073127-1.57079632675     		φ = -0.13990064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13990064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.015716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8566 KachelY 8558 0.14342720 -0.13990064 8.217773 -8.015716
    Oben rechts KachelX + 1 8567 KachelY 8558 0.14381070 -0.13990064 8.239746 -8.015716
    Unten links KachelX 8566 KachelY + 1 8559 0.14342720 -0.14028037 8.217773 -8.037473
    Unten rechts KachelX + 1 8567 KachelY + 1 8559 0.14381070 -0.14028037 8.239746 -8.037473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13990064--0.14028037) × R
    0.000379729999999995 × 6371000     		dl = 2419.25982999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13990064--0.14028037) × R
    0.000379729999999995 × 6371000     		dr = 2419.25982999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14381070) × cos(-0.13990064) × R
    0.000383500000000009 × 0.990229856328576 × 6371000     		do = 2419.40731802576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14381070) × cos(-0.14028037) × R
    0.000383500000000009 × 0.990176833590976 × 6371000     		du = 2419.27776871097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13990064)-sin(-0.14028037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990229856328576-0.990176833590976)×R²
    abs(0.14381070-0.14342720)×5.30227376004389e-05×R²
    0.000383500000000009×5.30227376004389e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.30227376004389e-05×40589641000000     		ar = 5853018.30051243m²