Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8566 / 8554
↖ ↑ ↗
← S  7.928675°
E  8.217773°		 ← 2 419.92 m → S  7.928675°
E  8.239746°		 →
↑
2 419.83 m
↓
↑
2 419.83 m
↓
S  7.950437°
E  8.217773°		 ← 2 419.79 m →
5 855 653 m²		 S  7.950437°
E  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522857666015625 y=0.522125244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522857666015625 × 214)
    floor (0.522857666015625 × 16384)
    floor (8566.5)     		tx = 8566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522125244140625 × 214)
    floor (0.522125244140625 × 16384)
    floor (8554.5)     		ty = 8554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8566 / 8554 ti = "14/8566/8554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8566/8554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8566 ÷ 214
    8566 ÷ 16384     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8554 ÷ 214
    8554 ÷ 16384     		y = 0.5220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138825261299683))-π/2
    2×atan(0.870380104259301)-π/2
    2×0.716207423097558-π/2
    1.43241484619512-1.57079632675     		φ = -0.13838148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13838148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.928675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8566 KachelY 8554 0.14342720 -0.13838148 8.217773 -7.928675
    Oben rechts KachelX + 1 8567 KachelY 8554 0.14381070 -0.13838148 8.239746 -7.928675
    Unten links KachelX 8566 KachelY + 1 8555 0.14342720 -0.13876130 8.217773 -7.950437
    Unten rechts KachelX + 1 8567 KachelY + 1 8555 0.14381070 -0.13876130 8.239746 -7.950437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13838148--0.13876130) × R
    0.000379820000000003 × 6371000     		dl = 2419.83322000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13838148--0.13876130) × R
    0.000379820000000003 × 6371000     		dr = 2419.83322000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14381070) × cos(-0.13838148) × R
    0.000383500000000009 × 0.990440552447854 × 6371000     		do = 2419.92210732402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14381070) × cos(-0.13876130) × R
    0.000383500000000009 × 0.990388088541974 × 6371000     		du = 2419.79392339076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13838148)-sin(-0.13876130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990440552447854-0.990388088541974)×R²
    abs(0.14381070-0.14342720)×5.24639058793186e-05×R²
    0.000383500000000009×5.24639058793186e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.24639058793186e-05×40589641000000     		ar = 5855652.88364165m²