Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8565 / 8555
↖ ↑ ↗
← S  7.950437°
E  8.195801°		 ← 2 419.73 m → S  7.950437°
E  8.217773°		 →
↑
2 419.71 m
↓
↑
2 419.71 m
↓
S  7.972198°
E  8.195801°		 ← 2 419.60 m →
5 854 881 m²		 S  7.972198°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522796630859375 y=0.522186279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522796630859375 × 214)
    floor (0.522796630859375 × 16384)
    floor (8565.5)     		tx = 8565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522186279296875 × 214)
    floor (0.522186279296875 × 16384)
    floor (8555.5)     		ty = 8555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8565 / 8555 ti = "14/8565/8555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8565/8555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8565 ÷ 214
    8565 ÷ 16384     		x = 0.52276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8555 ÷ 214
    8555 ÷ 16384     		y = 0.52215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52276611328125 × 2 - 1) × π
    0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14304371} λ = 0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139208756496643))-π/2
    2×atan(0.870046381664384)-π/2
    2×0.716017513527869-π/2
    1.43203502705574-1.57079632675     		φ = -0.13876130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13876130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.950437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8565 KachelY 8555 0.14304371 -0.13876130 8.195801 -7.950437
    Oben rechts KachelX + 1 8566 KachelY 8555 0.14342720 -0.13876130 8.217773 -7.950437
    Unten links KachelX 8565 KachelY + 1 8556 0.14304371 -0.13914110 8.195801 -7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 8566 KachelY + 1 8556 0.14342720 -0.13914110 8.217773 -7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13876130--0.13914110) × R
    0.000379799999999986 × 6371000     		dl = 2419.70579999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13876130--0.13914110) × R
    0.000379799999999986 × 6371000     		dr = 2419.70579999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14304371-0.14342720) × cos(-0.13876130) × R
    0.000383490000000014 × 0.990388088541974 × 6371000     		do = 2419.73082576567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14304371-0.14342720) × cos(-0.13914110) × R
    0.000383490000000014 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 2419.60230287381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13876130)-sin(-0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990388088541974-0.990335484533361)×R²
    abs(0.14342720-0.14304371)×5.26040086130664e-05×R²
    0.000383490000000014×5.26040086130664e-05×6371000²
    0.000383490000000014×5.26040086130664e-05×40589641000000     		ar = 5854881.29012998m²